近畿大学数学2012年第3問
2つの2次関数f(x)=ax2+bx、g(x)=px2+qx(a、b、p、qは定数)に対して
∫x0f(t)dt+∫x0(x−t)g′(t)dt=x3+x2
f(x)g(x)=−2(3x2+2x)2
がなりたっている。ただし、g′(x)はg(x)の導関数である。このとき
- (1) g(t)=pt2+qt を用いて∫x0(x−t)g′(t)dtを x の多項式の形で求めよ。
- (2) ddx(∫x0(x−t)g′(t)dt)=g(x)が成り立つことを示せ。
- (3) (I)式を用いてf(x)+g(x)を x の多項式の形で求めよ。
- (4) f(x)、g(x)を求めよ。