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近畿大学数学2012年第3問

2つの2次関数f(x)=ax2+bxg(x)=px2+qxabpqは定数)に対して x0f(t)dt+x0(xt)g(t)dt=x3+x2 f(x)g(x)=2(3x2+2x)2 がなりたっている。ただし、g(x)g(x)の導関数である。このとき
  • (1) g(t)=pt2+qt を用いてx0(xt)g(t)dtx の多項式の形で求めよ。
  • (2) ddx(x0(xt)g(t)dt)=g(x)が成り立つことを示せ。
  • (3) (I)式を用いてf(x)+g(x)x の多項式の形で求めよ。
  • (4) f(x)g(x)を求めよ。