2つの2次関数$f(x)=ax^2+bx$、$g(x)=px^2+qx$（$a$、$b$、$p$、$q$は定数）に対して \[\int^{x}_{0}f(t)dt+\int^{x}_{0}(x-t)g'(t)dt=x^3+x^2\tag{I}\label{aa}\] \[f(x)g(x)=-2(3x^2+2x)^2\tag{II}\label{ab}\] がなりたっている。ただし、$g'(x)$は$g(x)$の導関数である。このとき

• (1) $g(t)=pt^2+qt$ を用いて$\displaystyle\int^{x}_{0}(x-t)g'(t)dt$を $x$ の多項式の形で求めよ。
• (2) $\dfrac{d}{dx}\left(\displaystyle\int^{x}_{0}(x-t)g'(t)dt\right)=g(x)$が成り立つことを示せ。
• (3) $\eqref{aa}$式を用いて$f(x)+g(x)$を $x$ の多項式の形で求めよ。
• (4) $f(x)$、$g(x)$を求めよ。