北里大学数学2013年第1問

次の四角にあてはまる答を下の解答欄に記せ。ただし、(5)において、必要ならば$\log_{10}2=0.3010$を用いてよい。

(1) $\text{OA}:\text{OB}=1:3$である三角形$\text{OAB}$において、辺$\text{AB}$の中点を$\text{M}$、線分$\text{OM}$を$1:2$に内分する点を$\text{N}$とし、$\angle{\text{AOB}}$の大きさを$\theta$とする。
- (i) $\overrightarrow{\text{OA}}=\vec{a}$、$\overrightarrow{\text{OB}}=\vec{b}$とするとき、$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて$\overrightarrow{\text{NA}}$を表すと、$\overrightarrow{\text{NA}}=\fbox{ア}\vec{a}-\fbox{イ}\vec{b}$である。
- (ii) $\overrightarrow{\text{ON}}$と$\overrightarrow{\text{NA}}$が垂直であるとき、$\cos\theta$の値は$\fbox{ウ}$である。
(2) $(x+2y+3z)^6$の展開式における$x^4y^2$の係数は$\fbox{エ}$であり、$x^3y^2z$の係数は$\fbox{オ}$である。
(3) 点$(x,~y)$が不等式$x^2+y^2\leqq 4$の表す領域を動くとする。このとき、$3x+y$は、$x=\fbox{カ}$、$y=\fbox{キ}$において最大値$\fbox{ク}$をとり、$x=\fbox{ケ}$、$y=\fbox{コ}$において最小値$\fbox{サ}$をとる。
(4) $\text{A}$、$\text{B}$、$\text{C}$3つの袋があり、$\text{A}$には赤球2個と白球2個、$\text{B}$には白球1個と青球3個、さらに、$\text{C}$には赤球2個と白球1個と青球l個が入っている。いま、$\text{A}$から1個の球を取り出し、$\text{B}$から1個の球を取り出し、$\text{C}$から1個の球を取り出す。
- (i) 取り出した3個の球の色が1種類となる確率は$\fbox{シ}$である。
- (ii) 取り出した3個の球の色が2種類となる確率は$\fbox{ス}$である。
- (iii) 取り出した3個の球の色が3種類となる確率は$\fbox{セ}$である。
(5) 条件$a_1=5$、$a_{n+1}=2a_n-3$によって定まる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\fbox{ソ}$で与えられる。この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とおくとき、$S_8$の値は$\fbox{タ}$であり、不等式$\dfrac{S_n}{3}\gt n+16666$を満たす正の整数$n$のうちで最小のものは$\fbox{チ}$である。