北里大学数学2013年第1問

次の四角にあてはまる答を下の解答欄に記せ。ただし、(5)において、必要ならば

$\log_{10}2=0.3010$ を用いてよい。

(1) OA:OB=1:3である三角形OABにおいて、辺ABの中点をM、線分OMを1:2に内分する点をNとし、∠AOBの大きさをθとする。
- (i) $\overrightarrow{\text{OA}}=\vec{a}$ 、 $\overrightarrow{\text{OB}}=\vec{b}$ とするとき、 $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて $\overrightarrow{\text{NA}}$ を表すと、 $\overrightarrow{\text{NA}}=\fbox{ア}\vec{a}-\fbox{イ}\vec{b}$ である。
- (ii) $\overrightarrow{\text{ON}}$ と $\overrightarrow{\text{NA}}$ が垂直であるとき、 $\cos\theta$ の値は $\fbox{ウ}$ である。
(2) $(x+2y+3z)^6$ の展開式における $x^4y^2$ の係数は $\fbox{エ}$ であり、 $x^3y^2z$ の係数は $\fbox{オ}$ である。
(3) 点 $(x,~y)$ が不等式 $x^2+y^2\leqq 4$ の表す領域を動くとする。このとき、 $3x+y$ は、 $x=\fbox{カ}$ 、 $y=\fbox{キ}$ において最大値 $\fbox{ク}$ をとり、 $x=\fbox{ケ}$ 、 $y=\fbox{コ}$ において最小値 $\fbox{サ}$ をとる。
(4) A、B、C3つの袋があり、Aには赤球2個と白球2個、Bには白球1個と青球3個、さらに、Cには赤球2個と白球1個と青球l個が入っている。いま、Aから1個の球を取り出し、Bから1個の球を取り出し、Cから1個の球を取り出す。
- (i) 取り出した3個の球の色が1種類となる確率は $\fbox{シ}$ である。
- (ii) 取り出した3個の球の色が2種類となる確率は $\fbox{ス}$ である。
- (iii) 取り出した3個の球の色が3種類となる確率は $\fbox{セ}$ である。
(5) 条件 $a_1=5$ 、 $a_{n+1}=2a_n-3$ によって定まる数列 $\{a_n\}$ の一般項は $a_n=\fbox{ソ}$ で与えられる。この数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とおくとき、 $S_8$ の値は $\fbox{タ}$ であり、不等式 $\dfrac{S_n}{3}\gt n+16666$ を満たす正の整数 $n$ のうちで最小のものは $\fbox{チ}$ である。