北里大学数学2012年第1問

つぎの四角にあてはまる答を解答欄に記せ。

平行六面体 $\text{ABCD}-\text{EFGH}$ において、辺 $\text{CG}$ の $\text{G}$ を越える延長上に $\text{CG}=3\text{GP}$ となるように点 $\text{P}$ をとり、直線 $\text{AP}$ と平面 $\text{BDE}$ の交点を $\text{Q}$ とする。このとき、 $2\overrightarrow{\text{AP}}=\fbox{ア}\overrightarrow{\text{AB}}+\fbox{イ}\overrightarrow{\text{AD}}+\fbox{ウ}\overrightarrow{\text{AE}}$ 、 $\overrightarrow{\text{AQ}}=\fbox{エ}\overrightarrow{\text{AB}}+\fbox{オ}\overrightarrow{\text{AD}}+\fbox{カ}\overrightarrow{\text{AE}}$ となる。
関数f(x)をf(x)=−x3+4x2−4xとおく。
- (i)関数 $f(x)$ は $x=\fbox{キ}$ において極小値 $\fbox{ク}$ をとる。また、曲線 $y=f(x)$ の変曲点の $x$ 座標の値は $\fbox{ケ}$ である。
- (ii) $k$ を定数とする。方程式 $f(x)=k$ の異なる実数解の個数が3個となるような定数 $k$ の値の範囲は $\fbox{コ}$ である。
- (iii)曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積は $\fbox{サ}$ である。
次の条件によって定められる数列{an}がある。
条件: a1=2、an+1=3an−4n−1 (n=1,2,3,⋯)
- (i) $b_n=a_{n+1}-a_n~(n=1,2,3,\cdots)$ とおいて、 $b_{n+1}$ と $b_n$ の関係式を求めると、 $b_{n+1}=\fbox{シ}b_n-\fbox{ス}~(n=1,2,3,\cdots)$ となる。ただし、 $\fbox{シ}$ と $\fbox{ス}$ は定数とする。また、数列 $\{b_n\}$ の一般項は $b_n=\fbox{セ}~(n=1,2,3,\cdots)$ で与えられる。
- (ii)数列 $\{a_n\}$ の一般項は $a_n=\fbox{ソ}~(n=1,2,3,\cdots)$ で与えられる。
楕円x2+2y2=2をCとおく。傾きmの直線y=mx＋3をlとおく。
- (i) $C$ と $l$ が共有点をもたないような $m$ の値の範囲は $\fbox{タ}$ である。
- (ii) $m$ が(i)で求めた範囲にある定数とする。点 $\text{P}$ が $C$ 上を動くとき、 $\text{P}$ と $l$ の距離の最大値と最小値を $m$ を用いて表すと、最大値は $\fbox{チ}$ 、最小値は $\fbox{ツ}$ と表される。