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北里大学数学2012年第1問

つぎの四角にあてはまる答を解答欄に記せ。
  1. 平行六面体$\text{ABCD}-\text{EFGH}$において、辺$\text{CG}$の$\text{G}$を越える延長上に$\text{CG}=3\text{GP}$となるように点$\text{P}$をとり、直線$\text{AP}$と平面$\text{BDE}$の交点を$\text{Q}$とする。このとき、$2\overrightarrow{\text{AP}}=\fbox{ア}\overrightarrow{\text{AB}}+\fbox{イ}\overrightarrow{\text{AD}}+\fbox{ウ}\overrightarrow{\text{AE}}$、$\overrightarrow{\text{AQ}}=\fbox{エ}\overrightarrow{\text{AB}}+\fbox{オ}\overrightarrow{\text{AD}}+\fbox{カ}\overrightarrow{\text{AE}}$となる。
  2. 関数$f(x)$を$f(x)=-x^3+4x^2-4x$とおく。
    • (i)関数$f(x)$は$x=\fbox{キ}$において極小値$\fbox{ク}$をとる。また、曲線$y=f(x)$の変曲点の$x$座標の値は$\fbox{ケ}$である。
    • (ii)$k$を定数とする。方程式$f(x)=k$の異なる実数解の個数が3個となるような定数$k$の値の範囲は$\fbox{コ}$である。
    • (iii)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積は$\fbox{サ}$である。
  3. 次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある。
    条件: $a_1=2$、$a_{n+1}=3a_n-4n-1~(n=1,2,3,\cdots)$
    • (i) $b_n=a_{n+1}-a_n~(n=1,2,3,\cdots)$とおいて、$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めると、$b_{n+1}=\fbox{シ}b_n-\fbox{ス}~(n=1,2,3,\cdots)$となる。ただし、$\fbox{シ}$と$\fbox{ス}$は定数とする。また、数列$\{b_n\}$の一般項は$b_n=\fbox{セ}~(n=1,2,3,\cdots)$で与えられる。
    • (ii)数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\fbox{ソ}~(n=1,2,3,\cdots)$で与えられる。
  4. 楕円$x^2+2y^2=2$を$C$とおく。傾き$m$の直線$y=mx＋3$を$l$とおく。
    • (i)$C$と$l$が共有点をもたないような$m$の値の範囲は$\fbox{タ}$である。
    • (ii)$m$が(i)で求めた範囲にある定数とする。点$\text{P}$が$C$上を動くとき、$\text{P}$と$l$の距離の最大値と最小値を$m$を用いて表すと、最大値は$\fbox{チ}$、最小値は$\fbox{ツ}$と表される。