$a$、$b$、$c$、$d$は実数で、$a\neq{c}$とする。行列$A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\\\end{array}\right)$で表される1次変換$f$によって点$(1,1)$は点$(3,3)$に移るとする。以下の問に答えよ。

1. 行列$A$は逆行列$A^{-1}$をもつことを示せ。
2. 逆行列$A^{-1}$によって表される1次変換$f^{-1}$が点$(4, -1)$を点$(3,-2)$に移すとき、行列$A$を求めよ。
3. 2．で求めた行列$A$で表される1次変換$f$により、円$x^2+y^2=1$上の点$\text{P}$が移された点を$\text{Q}$とする。原点を$\text{O}$とおくとき、2つのベクトル$\overrightarrow{\text{OP}}$と$\overrightarrow{\text{OQ}}$のなす角が$\dfrac{\pi}{6}$となるような点$\text{P}$の座標をすべて求めよ。