一辺の長さが2である正五角形$\text{OABCD}$において、$\vec{a}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{OA}}$、$\vec{b}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{OD}}$、$k=|\overrightarrow{\text{DA}}|$とする。

• (a) $\overrightarrow{\text{OB}}=\overrightarrow{\text{OD}}+\overrightarrow{\text{DB}}$と$|\overrightarrow{\text{DB}}|=k$より、 \[\overrightarrow{\text{OB}}=k\vec{a}+\fbox{ア}\vec{d}\] が成り立つ。 また、 \[\overrightarrow{\text{OC}}=\fbox{イ}\vec{a}+k\vec{d}\] と表せる。
• (b) $|\overrightarrow{\text{OB}}|=k$より、 \[k=\fbox{ウ}+\sqrt{\fbox{エ}},\vec{a}\cdot\vec{d}=\dfrac{\fbox{オ}-\sqrt{\fbox{カ}}}{\fbox{キ}}\] また、直線$\text{OA}$と直線$\text{BC}$の交点を$\text{E}$とすると、 \[\overrightarrow{\text{OE}}=\bigg(\fbox{ク}+\sqrt{\fbox{ケ}}\bigg)\vec{a}\] であり。点$\text{E}$は線分$\text{BC}$を$2: \fbox{ク}+\sqrt{\fbox{ケ}}$に外分する。
• (c) 正五角形$\text{OABCD}$の内接円の半径を$\alpha$とすると、 \[\alpha^2=\fbox{シ}+\dfrac{\fbox{ス}}{\fbox{セ}}\sqrt{\fbox{ソ}}\]

  である。点$\text{テ}$を極とし。 半直線$t\overrightarrow{\text{OA}}\big(t\geqq0\big)$を始線としたとき、極座標$(r, \theta)$を用いて直線$\text{AD}$の極方程式は$r=\fbox{タ}$と表わされる。

  $\fbox{タ}$の解答群
  • (1) $2\cos\theta+\dfrac{2}{\alpha}\sin\theta$
  • (2) $2\cos\theta-\dfrac{2}{\alpha}\sin\theta$
  • (3) $2\cos\theta+2\alpha\sin\theta$
  • (4) $2\cos\theta-2\alpha\sin\theta$
  • (5) $\dfrac{2\alpha}{\alpha\cos\theta+\sin\theta}$
  • (6) $\dfrac{2\alpha}{\alpha\cos\theta-\sin\theta}$
  • (7) $\dfrac{2}{\cos\theta+\alpha\sin\theta}$
  • (8) $\dfrac{2}{\cos\theta-\alpha\sin\theta}$