座標平面上の点$\text{P}(x,y)$が$t\geqq0$に対して \[x=1-e^{-3t},y=8-3t-8e^{-3t}\] で表されるとき、以下の問いに答えよ。

• (a) $t\to\infty$のとき$x$の極限値は \[\lim_{t \to \infty}x=\fbox{ア}\] であり、$t=0$のとき \[\dfrac{dy}{dt}=\fbox{イウ}\] となる。 また。任意の$t$に対して \[\dfrac{d^2x}{dt^2}+\fbox{エ}\dfrac{dx}{dt}=\fbox{オ}\] \[\dfrac{d^2y}{dt^2}+\fbox{カ}\dfrac{dy}{dt}=\fbox{キク}\] が成り立つ。
• (b) $\dfrac{dy}{dx}=0$となる$t$の値を$\alpha$とすると、$e^\alpha=\fbox{ケ}$となる。このときの$x$の値を$\beta$とすると、$\beta=\dfrac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}}$であり、$y$の値は$\fbox{シ}-\fbox{ス}\alpha$である。
• (C) $0\leqq t\leqq a$に対して点$\text{P}$の描く曲線と、直線$x=\beta$および$x$軸で囲まれた部分の面積は$\dfrac{\fbox{セソ}}{\fbox{タチ}}+\dfrac{\fbox{ツ}}{\fbox{テ}}\alpha$となる。