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杏林大学数学2012年第4問

座標平面上の点P(x,y)t0に対して x=1e3t,y=83t8e3t で表されるとき、以下の問いに答えよ。
  • (a) tのときxの極限値は lim であり、t=0のとき \dfrac{dy}{dt}=\fbox{イウ} となる。 また。任意のtに対して \dfrac{d^2x}{dt^2}+\fbox{エ}\dfrac{dx}{dt}=\fbox{オ} \dfrac{d^2y}{dt^2}+\fbox{カ}\dfrac{dy}{dt}=\fbox{キク} が成り立つ。
  • (b) \dfrac{dy}{dx}=0となるtの値を\alphaとすると、e^\alpha=\fbox{ケ}となる。このときのxの値を\betaとすると、\beta=\dfrac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}}であり、yの値は\fbox{シ}-\fbox{ス}\alphaである。
  • (C) 0\leqq t\leqq aに対して点\text{P}の描く曲線と、直線x=\betaおよびx軸で囲まれた部分の面積は\dfrac{\fbox{セソ}}{\fbox{タチ}}+\dfrac{\fbox{ツ}}{\fbox{テ}}\alphaとなる。