杏林大学数学2012年第4問
座標平面上の点P(x,y)がt≧0に対して
x=1−e−3t,y=8−3t−8e−3t
で表されるとき、以下の問いに答えよ。
- (a) t→∞のときxの極限値は lim であり、t=0のとき \dfrac{dy}{dt}=\fbox{イウ} となる。 また。任意のtに対して \dfrac{d^2x}{dt^2}+\fbox{エ}\dfrac{dx}{dt}=\fbox{オ} \dfrac{d^2y}{dt^2}+\fbox{カ}\dfrac{dy}{dt}=\fbox{キク} が成り立つ。
- (b) \dfrac{dy}{dx}=0となるtの値を\alphaとすると、e^\alpha=\fbox{ケ}となる。このときのxの値を\betaとすると、\beta=\dfrac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}}であり、yの値は\fbox{シ}-\fbox{ス}\alphaである。
- (C) 0\leqq t\leqq aに対して点\text{P}の描く曲線と、直線x=\betaおよびx軸で囲まれた部分の面積は\dfrac{\fbox{セソ}}{\fbox{タチ}}+\dfrac{\fbox{ツ}}{\fbox{テ}}\alphaとなる。