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杏林大学数学2013年第2問

動点PQRは、時刻t=0においてすべて点A(3, 0)にあり、原点O(0, 0)を中心とする半径3の円周上を反時計まわりに移動する。時刻tにおいてAOP=tAOQ=2tAOR=3tである。以下、t0<t<πを満たすものとする。
  • (a) 時刻tにおいて、三角形PQRの面積Sは、 S=sintsin(t) と表わせる。面積St=πのとき最大値キクをとる。
  • (b) 点Rから直線PQに下ろした垂線の足をHとする。時刻tにおいて行列(cos32tsin32tsin32tcos32t)で表わされる1次変換により、点H(3cos(t), 3sin(t)) に移動する。OH2cost=を満たす時刻tにおいて最大値+をとる。
  • (c) 時刻tの変化にともない、線分PRの中点が描く軌跡をCとする。点Oを極とし、半直線αOA(a0)を始線としたとき、曲線Cの極方程式は、極座標(r,θ)を用いて r=cos(θ) と表わされる。