杏林大学数学2013年第2問
動点P、Q、Rは、時刻t=0においてすべて点A(3, 0)にあり、原点O(0, 0)を中心とする半径3の円周上を反時計まわりに移動する。時刻tにおいて∠AOP=t、∠AOQ=2t、∠AOR=3tである。以下、tは0<t<πを満たすものとする。
- (a) 時刻tにおいて、三角形PQRの面積Sは、 S=アsint−イウsin(エt) と表わせる。面積Sはt=オカπのとき最大値キクケ√コをとる。
- (b) 点Rから直線PQに下ろした垂線の足をHとする。時刻tにおいて行列(cos32tsin32t−sin32tcos32t)で表わされる1次変換により、点Hは (3cos(サシt), 3sin(スセt)) に移動する。OH2はcost=√ソタを満たす時刻tにおいて最大値チ+ツ√テをとる。
- (c) 時刻tの変化にともない、線分PRの中点が描く軌跡をCとする。点Oを極とし、半直線α→OA(a≧0)を始線としたとき、曲線Cの極方程式は、極座標(r,θ)を用いて r=トcos(ナニθ) と表わされる。