$\fbox{オ}$、$\fbox{タ}$、$\fbox{チ}$、$\fbox{ト}$、$\fbox{ナ}$の解答は対応する解答群の中から最も適当なものを1つ選べ。
条件$a_1=0$、$a_2=0$と漸化式 \[a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=2^n\log_2\dfrac{(n+1)^2}{n}\cdots\cdots\tag{*}\label{ab}\] $(n=1,2,3,\cdots)$で定められる数列の一般項を、以下の要領で求めてみよう。

• (a) 漸化式$\eqref{ab}$より、ベクトル$\vec{b}_n=\left(\begin{array}{cc}a_{n+1}\\a_n\end{array}\right)$に対して \[\vec{b}_{n+1}=A\vec{b}_n+\left(\begin{array}{cc}2^n\log_2\dfrac{(n+1)^2}{n}\\0\end{array}\right)\] が成立する。ただし、行列$A$は$A=\left(\begin{array}{cc}\fbox{ア}&\fbox{イウ}\\\fbox{エ}&0\end{array}\right)$である。
  この式の両辺に、$A$の逆行列$A^{-1}$を左から$n$回かけると \[(A^{-1})^n\vec{b}_{n+1}=(A^{-1})^{n-1}\vec{b}_n+(A^{-1})^n\left(\begin{array}{cc}2^n\log_2\dfrac{(n+1)^2}{n}\\0\end{array}\right)\] となり、$(A^{-1})^{n-1}\vec{b}_n$の階差数列がわかる。これより、2以上の整数$n$に対し、 \[(A{-1})^{n-1}\vec{b}_n=\vec{b}_1+\sum\limits_{k=1}^\fbox{オ}(A^{-1})^k\left(\begin{array}{cc}2^k\log_2\dfrac{(k+1)^2}{k}\\0\end{array}\right)\tag{**}\label{ac}\] を得る。
• (b) $\eqref{ac}$式の右辺第一項は$\vec{b}_1=\left(\begin{array}{cc}\fbox{カ}\\\fbox{キ}\end{array}\right)$であり、$A^{-1}=\dfrac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}\fbox{ク}&\fbox{ケ}\\\fbox{コサ}&\fbox{シ}\end{array}\right)$は行列$P=\left(\begin{array}{cc}2&1\\1&1\end{array}\right)$を用いて \[A^{-1}=P\left(\begin{array}{cc}\dfrac{\fbox{ス}}{\fbox{セ}}&0\\0&\fbox{ソ}\end{array}\right)P^{-1}\] と表わされるので、$\eqref{ac}$式右辺の和の項について、次式が成立する。 \[\sum\limits_{k=1}^\fbox{オ}(A^{-1})^k\left(\begin{array}{cc}2^k\log_2\dfrac{(k+1)^2}{k}\\0\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{cc}\log_2\fbox{タ}\\-2^n\log_2\fbox{チ}\end{array}\right)\]
• (c) (b)の結果と、行列$A$が同じ$P$を用いて \[A=P\left(\begin{array}{cc}\fbox{ツ}&0\\0&\fbox{テ}\end{array}\right)P^{-1}\] と表わされることに注意すると、$\eqref{ac}$式の両辺に行列$A$を左から$(n-1)$回かけて得られる$\vec{b}_n$から、一般項$a_n$は \[a_n=2^\fbox{ト}\log_2\fbox{ナ}\] $(n=2,3,4,\cdots)$となる。

$\fbox{オ}$、$\fbox{ト}$の解答群

• (1) $n-1$
• (2) $n$
• (3) $n+1$
• (4) $1-n$
• (5) $-n$
• (6) $-n-1$
• (7) $\dfrac{n(n+1)}{2}$
• (8) $n^2-1$
• (9) $\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

$\fbox{タ}$、$\fbox{チ}$、$\fbox{ナ}$の解答群

• (1) $n-1$
• (2) $n$
• (3) $\dfrac{n+1}{n}$
• (4) $\dfrac{4n-6}{n}$
• (5) $n^2-4n+5$
• (6) $(n-1)!$
• (7) $n!$
• (8) $n!-1$
• (9) $(n-1)\times n!$
• (0) $n\times n!$