杏林大学数学2013年第4問
オ、タ、チ、ト、ナの解答は対応する解答群の中から最も適当なものを1つ選べ。
条件a1=0、a2=0と漸化式 an+2−3an+1+2an=2nlog2(n+1)2n⋯⋯ (n=1,2,3,⋯)で定められる数列の一般項を、以下の要領で求めてみよう。
条件a1=0、a2=0と漸化式 an+2−3an+1+2an=2nlog2(n+1)2n⋯⋯ (n=1,2,3,⋯)で定められる数列の一般項を、以下の要領で求めてみよう。
- (a) 漸化式(*)より、ベクトル→bn=(an+1an)に対して
→bn+1=A→bn+(2nlog2(n+1)2n0)
が成立する。ただし、行列AはA=(アイウエ0)である。
この式の両辺に、Aの逆行列A−1を左からn回かけると (A−1)n→bn+1=(A−1)n−1→bn+(A−1)n(2nlog2(n+1)2n0) となり、(A−1)n−1→bnの階差数列がわかる。これより、2以上の整数nに対し、 (A−1)n−1→bn=→b1+オ∑k=1(A−1)k(2klog2(k+1)2k0) を得る。 - (b) (**)式の右辺第一項は→b1=(カキ)であり、A−1=12(クケコサシ)は行列P=(2111)を用いて A−1=P(スセ00ソ)P−1 と表わされるので、(**)式右辺の和の項について、次式が成立する。 オ∑k=1(A−1)k(2klog2(k+1)2k0)=P(log2タ−2nlog2チ)
- (c) (b)の結果と、行列Aが同じPを用いて A=P(ツ00テ)P−1 と表わされることに注意すると、(**)式の両辺に行列Aを左から(n−1)回かけて得られる→bnから、一般項anは an=2トlog2ナ (n=2,3,4,⋯)となる。
- (1) n−1
- (2) n
- (3) n+1
- (4) 1−n
- (5) −n
- (6) −n−1
- (7) n(n+1)2
- (8) n2−1
- (9) 16n(n+1)(2n+1)
- (1) n−1
- (2) n
- (3) n+1n
- (4) 4n−6n
- (5) n2−4n+5
- (6) (n−1)!
- (7) n!
- (8) n!−1
- (9) (n−1)×n!
- (0) n×n!