Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

杏林大学数学2013年第4問

の解答は対応する解答群の中から最も適当なものを1つ選べ。
条件a1=0a2=0と漸化式 an+23an+1+2an=2nlog2(n+1)2n (n=1,2,3,)で定められる数列の一般項を、以下の要領で求めてみよう。
  • (a) 漸化式(*)より、ベクトルbn=(an+1an)に対して bn+1=Abn+(2nlog2(n+1)2n0) が成立する。ただし、行列AA=(イウ0)である。
    この式の両辺に、Aの逆行列A1を左からn回かけると (A1)nbn+1=(A1)n1bn+(A1)n(2nlog2(n+1)2n0) となり、(A1)n1bnの階差数列がわかる。これより、2以上の整数nに対し、 (A1)n1bn=b1+k=1(A1)k(2klog2(k+1)2k0) を得る。
  • (b) (**)式の右辺第一項はb1=()であり、A1=12(コサ)は行列P=(2111)を用いて A1=P(00)P1 と表わされるので、(**)式右辺の和の項について、次式が成立する。 k=1(A1)k(2klog2(k+1)2k0)=P(log22nlog2)
  • (c) (b)の結果と、行列Aが同じPを用いて A=P(00)P1 と表わされることに注意すると、(**)式の両辺に行列Aを左から(n1)回かけて得られるbnから、一般項anan=2log2 (n=2,3,4,)となる。
の解答群
  • (1) n1
  • (2) n
  • (3) n+1
  • (4) 1n
  • (5) n
  • (6) n1
  • (7) n(n+1)2
  • (8) n21
  • (9) 16n(n+1)(2n+1)
の解答群
  • (1) n1
  • (2) n
  • (3) n+1n
  • (4) 4n6n
  • (5) n24n+5
  • (6) (n1)!
  • (7) n!
  • (8) n!1
  • (9) (n1)×n!
  • (0) n×n!