杏林大学物理2012年第4問

次の四角にあてはまる最も適当なものを対応する解答群の中から一つずつ選べ、

図のように、一辺の長さ$L$の正方形の薄い金属板A、B、C、Dがあり、AB間、BC間、CD間の距離がそれぞれ$2d$、$d$、$d$となるように互いに平行に置かれている。金属板BとCはスイッチ$\text{S}_1$の付いた細い導線で互いに接続されており、金属板AとDはそれぞれスイッチ$\text{S}_2$および抵抗を経由して直流電源に接続されている。

最初、スイッチ$\text{S}_1$と$\text{S}_2$は開いていて。金属板A、B、Dは電荷を持っていないが、金属板Cには$2Q$ 〔C〕の電荷が与えられている。 $L$ 〔m〕は$d$ 〔m〕よりじゅうぶん大きく、$Q\gt 0$であるとする。また、金属板間は真空であり、真空の誘電率を$\epsilon_0$ 〔F/m〕とする。

(1) $\epsilon_0Q$
(2) $\dfrac{\epsilon_0}{2}Q$
(3) $2\epsilon_0Q$
(4) $4\pi\epsilon_0Q$
(5) $\dfrac{1}{\epsilon_0}Q$
(6) $\dfrac{1}{2\epsilon_0}Q$
(7) $\dfrac{2}{\epsilon_0}Q$
(8) $\dfrac{4\pi}{\epsilon_0}Q$
(9) 0

(b) スイッチ$\text{S}_1$を閉じた後、$\text{S}_2$も閉じてじゅうぶん時間が経過したとき、金属板AとDにそれぞれ$-3Q$ 〔C〕、$3Q$ 〔C〕の電荷が蓄えられた。このとき、金属板Bが持つ電荷は$\fbox{エ}$ 〔C〕であり、金属板Cが持つ電荷は$\fbox{オ}$ 〔C〕である。また、AB間、BC間、CD間の電場の大きさは、それぞれ$\fbox{カ}$、$\fbox{キ}$、$\fbox{ク}$となる。
$\fbox{エ}$、$\fbox{オ}$の解答辞
- (1) $Q$
- (2) $2Q$
- (3) $3Q$
- (4) $4Q$
- (5) $5Q$
- (6) $-Q$
- (7) $-2Q$
- (8) $-3Q$
- (9) $-4Q$
$\fbox{カ}$、$\fbox{キ}$、$\fbox{ク}$の解答群
- (1) $\dfrac{Q}{2\epsilon_0L^2}$
- (2) $\dfrac{Q}{\epsilon_0L^2}$
- (3) $\dfrac{3Q}{2\epsilon_0L^2}$
- (4) $\dfrac{2Q}{\epsilon_0L^2}$
- (5) $\dfrac{3Q}{\epsilon_0L^2}$
- (6) $\dfrac{4Q}{\epsilon_0L^2}$
- (7) $\dfrac{5Q}{\epsilon_0L^2}$
- (8) $\dfrac{8Q}{\epsilon_0L^2}$
- (9) 0
(c) (b)の問題で、スイッチ$\text{S}_2$を閉じて電荷が蓄えられる過程において、金属板Dの電荷$q(\leqq3Q)$を横軸、Aに対するBの電位$V(q)$を縦軸にとったグラフは$\fbox{ケ}$となる。
微小な電荷$\Delta q$を金属板AからB、 Cを経由してDまで運ぶのに必要な仕事を考え、Dの電荷が$0$ 〔C〕から$3Q$ 〔C〕となるまでの仕事の総和を求めることにより、金属板が蓄えたエネルギーを求めることができる。スイッチ$\text{S}_2$を閉じる前とくらべて、電荷を蓄えることにより金属板AB間で増加したエネルギーは$\fbox{コ}$となる。
$\fbox{ケ}$の解答群

$\fbox{コ}$の解答群
- (1) $\dfrac{3Q^2d}{2\epsilon_0L^2}$
- (2) $\dfrac{9Q^2d}{2\epsilon_0L^2}$
- (3) $\dfrac{15Q^2d}{2\epsilon_0L^2}$
- (4) $\dfrac{3Q^2d}{\epsilon_0L^2}$
- (5) $\dfrac{4Q^2d}{\epsilon_0L^2}$
- (6) $\dfrac{6Q^2d}{\epsilon_0L^2}$
- (7) $\dfrac{8Q^2d}{\epsilon_0L^2}$
- (8) $\dfrac{9Q^2d}{\epsilon_0L^2}$
- (9) $\dfrac{12Q^2d}{\epsilon_0L^2}$
- (10) $\dfrac{15Q^2d}{\epsilon_0L^2}$