日本大学数学2012年第1問

以下の設問(1)～(8)については、答えだけを解答欄に書きなさい。

(1) つぎの式を簡単にしなさい。ただし、平方根の中はできるだけ簡単にして答えなさい。 $\dfrac{2}{\sqrt{3}-1}\times\dfrac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}-\dfrac{\sqrt{3}}{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2}+3\sqrt{2}$
(2) $x$ の2次方程式 $x^2-2mx-m+6=0$ が異なる2つの正の実数解をもつように定数 $m$ を定めるとき、 $m$ の値の範囲を求めなさい。
(3) 白玉4個、赤玉8個が入っている袋から玉を1個取り出し、色を調べてからもとに戻すことを6回続けて行うとき、5回目に2度目の白玉が出て、かつ、6回目に4度目の赤玉が出る確率を求めなさい。
(4) 関数 $y=2\cos^2x-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)$ （ただし、 $0\leqq{x}\lt2\pi$ ）の最大値を求めなさい。
(5) 15分毎に分裂して、個数が2倍に増えるバクテリアがある。このバクテリア100個が $10^{10}$ 個以上に増えるのは、最低何分後であるか求めなさい。ただし、 $\log_{10}2=0.3010$ とする。
(6) 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n=-\dfrac{1}{3}a_n+5n-\dfrac{7}{3}$ を満たすとする。このとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めなさい。
(7) 2次の正方行列 $A=\begin{pmatrix}2&1\\-3&-1\end{pmatrix}$ について、 $A^{35}$ を求めなさい。ただし、 $A^{35}$ は $A$ の35乗を表す。
(8) 関数 $y=\dfrac{\log{x}}{x}$ の変曲点の $x$ 座標の値を $a$ で表すとき、定積分 $\int_{1}^{a}\dfrac{\log{x}}{x}dx$ を求めなさい。ただし、 $\log$ は自然対数を表す。答えは、 $a$ を求めて、その値を代入したものを書きなさい。