原点Oの座標平面上に曲線 \[y=x+\dfrac{2\sqrt{2}}{x}\qquad(ただし、x\gt0)\] があり、この曲線上に動点Pがある。OPが最小となるときの点Pの$x$座標の値を$\alpha$で表す。このとき、以下の問いに答えなさい。ただし、(1)と(2)については答えだけを解答欄に書きなさい。

• (1) $\alpha$を求めなさい。
• (2) 点$\left(\alpha,\alpha+\dfrac{2\sqrt{2}}{\alpha}\right)$における曲線の接線を $l$ とする。$l$ の方程式を$y=ax+b$と表すとき、$a$、$b$ の値を求めなさい。ただし、答えは、(1)で求めた$\alpha$の値を代入して計算したものを書きなさい。
• (3) 曲線と(2)の$l$と直線$x=\sqrt{2}e$で囲まれる図形の面積を求めなさい。ただし、$e$は自然対数の底を表す。