日本大学数学2013年第1問

以下の設問(1)~(8)については、答えだけを解答欄に書きなさい。

(1) つぎの式を計算して簡単にしなさい。 $2\times 8^{-\frac{1}{6}}-\dfrac{2^{-\frac{1}{2}}}{(\sqrt{2}+1)^3}+2^{-\frac{5}{2}}\log_2 8$
(2) $a$ は $a\geqq -3$ を満たす定数とする。放物線 $y=3x^2$ と直線 $y=2ax+2a+1$ が異なる2点を共有するような $a$ の値の範囲を求めなさい。
(3) $xy$ 座標平面上に点 $\text{A}(0,~5)$ と点 $\text{B}(8,~2)$ をとる。 $x$ 軸上に点 $\text{P}$ を、 $\text{A}$ 、 $\text{B}$ からの距離の和 $\text{AP}+\text{BP}$ が最小になるようにとるとき、 $\text{P}$ の $x$ 座標を求めなさい。
(4) $\text{AC}=2$ 、 $\angle{\text{ABC}}=30^\circ$ 、 $\angle{\text{ACB}}=90^\circ$ の直角三角形 $\text{ABC}$ において、辺 $\text{BC}$ 上に点 $\text{D}$ を $\text{CD}=2$ となるようにとる。三角形 $\text{ABD}$ の外接円を描いたとき、 $\text{A}$ と $\text{D}$ を端点とし三角形 $\text{ADC}$ の内部を通る弧 $\stackrel{\frown}{AD}$ の長さを求めなさい。
(5) 実数 $x$ 、 $y$ は3つの不等式 $y\geqq 2x^2$ 、 $y\leqq 3x+3$ 、 $4x+y\leqq 17$ をすべて満たすとする。 $x+y=k$ とおくとき $k$ のとり得る値の範囲を求めなさい。
(6) 原点 $\text{O}$ の座標空間に四面体 $\text{OABC}$ があり、 $\overrightarrow{\text{OA}}=\vec{a}$ 、 $\overrightarrow{\text{OB}}=\vec{b}$ 、 $\overrightarrow{\text{OC}}=\vec{c}$ とする。線分 $\text{OC}$ の中点を $\text{D}$ とし、線分 $\text{AB}$ を $2:3$ に内分する点を $\text{E}$ とする。線分 $\text{OE}$ の延長線上に点 $\text{F}$ を $\overrightarrow{\text{OF}}=5\overrightarrow{\text{OE}}$ を満たすようにとり、 $\text{D}$ と $\text{F}$ を線分で結ぶとき、 $\text{DF}$ と四面体の底面 $\text{ABC}$ との交点を $\text{G}$ とする。このとき $\overrightarrow{\text{OG}}$ を $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ を用いて表しなさい。
(7) 任意の自然数 $n$ とある自然数 $a$ について、
$3^{2n}-1=a(1+9+9^2+\cdots +9^{n-1})$ が成り立つことに注意すると、 $3^{120}+7$ は $a$ の倍数であることがわかる。このとき $\dfrac{3^{120}+7}{a}$ の桁数を求めなさい。ただし、 $\log_{10}2=0.3010$ 、 $\log_{10}3=0.4771$ とする。
(8) 原点 $\text{O}$ の座標平面において、双曲線 $\dfrac{(x-2\sqrt{2})^2}{6}-\dfrac{y^2}{2}=1$ 上の点 $\text{P}$ から直線 $x=a$ に下した垂線を $\text{PH}$ とし、 $k=\dfrac{\text{PH}}{\text{OP}}$ とおく。点 $\text{P}$ の位置に無関係に $k$ の値が一定となるときの $a$ の値と、そのときの $k$ の値を求めなさい。