日本大学数学2013年第1問

以下の設問(1)~(8)については、答えだけを解答欄に書きなさい。

(1) つぎの式を計算して簡単にしなさい。 \[2\times 8^{-\frac{1}{6}}-\dfrac{2^{-\frac{1}{2}}}{(\sqrt{2}+1)^3}+2^{-\frac{5}{2}}\log_2 8\]
(2) $a$は$a\geqq -3$を満たす定数とする。放物線$y=3x^2$と直線$y=2ax+2a+1$が異なる2点を共有するような$a$の値の範囲を求めなさい。
(3) $xy$座標平面上に点$\text{A}(0,~5)$と点$\text{B}(8,~2)$をとる。$x$軸上に点$\text{P}$を、$\text{A}$、$\text{B}$からの距離の和$\text{AP}+\text{BP}$が最小になるようにとるとき、$\text{P}$の$x$座標を求めなさい。
(4) $\text{AC}=2$、$\angle{\text{ABC}}=30^\circ$、$\angle{\text{ACB}}=90^\circ$の直角三角形$\text{ABC}$において、辺$\text{BC}$上に点$\text{D}$を$\text{CD}=2$となるようにとる。三角形$\text{ABD}$の外接円を描いたとき、$\text{A}$と$\text{D}$を端点とし三角形$\text{ADC}$の内部を通る弧$\stackrel{\frown}{AD}$の長さを求めなさい。
(5) 実数$x$、$y$は3つの不等式$y\geqq 2x^2$、$y\leqq 3x+3$、$4x+y\leqq 17$をすべて満たすとする。$x+y=k$とおくとき$k$のとり得る値の範囲を求めなさい。
(6) 原点$\text{O}$の座標空間に四面体$\text{OABC}$があり、$\overrightarrow{\text{OA}}=\vec{a}$、$\overrightarrow{\text{OB}}=\vec{b}$、$\overrightarrow{\text{OC}}=\vec{c}$とする。線分$\text{OC}$の中点を$\text{D}$とし、線分$\text{AB}$を$2:3$に内分する点を$\text{E}$とする。線分$\text{OE}$の延長線上に点$\text{F}$を$\overrightarrow{\text{OF}}=5\overrightarrow{\text{OE}}$を満たすようにとり、$\text{D}$と$\text{F}$を線分で結ぶとき、$\text{DF}$と四面体の底面$\text{ABC}$との交点を$\text{G}$とする。このとき$\overrightarrow{\text{OG}}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$を用いて表しなさい。
(7) 任意の自然数$n$とある自然数$a$について、
$3^{2n}-1=a(1+9+9^2+\cdots +9^{n-1})$が成り立つことに注意すると、$3^{120}+7$は$a$の倍数であることがわかる。このとき$\dfrac{3^{120}+7}{a}$の桁数を求めなさい。ただし、$\log_{10}2=0.3010$、$\log_{10}3=0.4771$とする。
(8) 原点$\text{O}$の座標平面において、双曲線$\dfrac{(x-2\sqrt{2})^2}{6}-\dfrac{y^2}{2}=1$上の点$\text{P}$から直線$x=a$に下した垂線を$\text{PH}$とし、$k=\dfrac{\text{PH}}{\text{OP}}$とおく。点$\text{P}$の位置に無関係に$k$の値が一定となるときの$a$の値と、そのときの$k$の値を求めなさい。