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医学部受験対策

医師を目指す人の私立大学医学部受験対策

日本大学数学2013年第4問

関数

$f(x)=e^{-x-1}$ について、以下の問いに答えなさい。ただし、

$e$ は自然対数の底を表す。

(1) 方程式 $x=f(x)$ はただ1つの解をもつことを証明しなさい。
(2) (1)の方程式の解を $\alpha$ で表す。数列 $\{a_n\}$ を $a_1=1、a_{n+1}=f(a_n)\tag{$n=1,2,3,\cdots\cdots$}$ により定める。このとき、はさみうちの原理を用いて $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\alpha$ が成り立つことを証明しなさい。