日本大学数学2012年第1問

以下の設問(1)～(8)については、答えだけを解答欄に書きなさい。

(1) つぎの式を簡単にしなさい。ただし、平方根の中はできるだけ簡単にして答えなさい。 \[\dfrac{2}{\sqrt{3}-1}\times\dfrac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}-\dfrac{\sqrt{3}}{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2}+3\sqrt{2}\]
(2) $x$の2次方程式$x^2-2mx-m+6=0$が異なる2つの正の実数解をもつように定数$m$を定めるとき、$m$の値の範囲を求めなさい。
(3) 白玉4個、赤玉8個が入っている袋から玉を1個取り出し、色を調べてからもとに戻すことを6回続けて行うとき、5回目に2度目の白玉が出て、かつ、6回目に4度目の赤玉が出る確率を求めなさい。
(4) 関数$y=2\cos^2x-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)$（ただし、$0\leqq{x}\lt2\pi$）の最大値を求めなさい。
(5) 15分毎に分裂して、個数が2倍に増えるバクテリアがある。このバクテリア100個が$10^{10}$個以上に増えるのは、最低何分後であるか求めなさい。ただし、$\log_{10}2=0.3010$とする。
(6) 数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=-\dfrac{1}{3}a_n+5n-\dfrac{7}{3}$を満たすとする。このとき、数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい。
(7) 2次の正方行列$A=\begin{pmatrix}2&1\\-3&-1\end{pmatrix}$について、$A^{35}$を求めなさい。ただし、$A^{35}$は$A$の35乗を表す。
(8) 関数$y=\dfrac{\log{x}}{x}$の変曲点の$x$座標の値を$a$で表すとき、定積分 \[\int_{1}^{a}\dfrac{\log{x}}{x}dx\] を求めなさい。ただし、$\log$は自然対数を表す。答えは、$a$を求めて、その値を代入したものを書きなさい。