日本医科大学数学2013年第3問

次の各問いに答えよ。

問1 $x\geqq 1$ 、 $k=0,1,2,\cdots$ として $I_k(x)=\displaystyle\int\dfrac{(\log x)^k}{x^2}dx$ とおくとき、 $I_0(x)$ を求め、 $I_{k+1}(x)$ を $I_k(x)$ を用いて表せ。また $I_4(x)$ を求めよ。
問2 $x\gt 0$ で不等式 $\log x\leqq\dfrac{3}{e}x^{\frac{1}{3}}$ が成り立つことを証明せよ。
問3 関数f(x)=\dfrac{(\log x)^2}{x}に関する以下の各問いに答えよ。
- (a) $y=f(x)(x\geqq 1)$ の極値、極限 $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)$ を調べ、増減表を作り、グラフの概形を描け。解答欄には増減表とグラフの概形のみを記せ。
- (b) $n\gt 1$ として、 $y=f(x)$ と2直線 $x=n$ 、 $x=n^2$ および $x$ 軸で囲まれる部分 $D_n$ の面積 $S_n$ を求めよ。
- (c) $D_n$ を $x$ 軸のまわりに回転して得られる立体の体積 $V_n$ を求めよ。
- (d) 極限 $\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{nV_n}{\log n(S_n)}$ の値を求めよ。