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日本医科大学数学2013年第3問

次の各問いに答えよ。
  • 問1 $x\geqq 1$、$k=0,1,2,\cdots$として \[I_k(x)=\displaystyle\int\dfrac{(\log x)^k}{x^2}dx\] とおくとき、$I_0(x)$を求め、$I_{k+1}(x)$を$I_k(x)$を用いて表せ。また$I_4(x)$を求めよ。
  • 問2 $x\gt 0$で不等式$\log x\leqq\dfrac{3}{e}x^{\frac{1}{3}}$が成り立つことを証明せよ。
  • 問3 関数$f(x)=\dfrac{(\log x)^2}{x}$に関する以下の各問いに答えよ。
    • (a) $y=f(x)(x\geqq 1)$の極値、極限$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)$を調べ、増減表を作り、グラフの概形を描け。解答欄には増減表とグラフの概形のみを記せ。
    • (b) $n\gt 1$として、$y=f(x)$と2直線$x=n$、$x=n^2$および$x$軸で囲まれる部分$D_n$の面積$S_n$を求めよ。
    • (c) $D_n$を$x$軸のまわりに回転して得られる立体の体積$V_n$を求めよ。
    • (d) 極限$\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{nV_n}{\log n(S_n)}$の値を求めよ。