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日本医科大学数学2013年第3問

次の各問いに答えよ。
  • 問1 x1k=0,1,2,として Ik(x)=(logx)kx2dx とおくとき、I0(x)を求め、Ik+1(x)Ik(x)を用いて表せ。またI4(x)を求めよ。
  • 問2 x>0で不等式logx3ex13が成り立つことを証明せよ。
  • 問3 関数f(x)=(logx)2xに関する以下の各問いに答えよ。
    • (a) y=f(x)(x1)の極値、極限limを調べ、増減表を作り、グラフの概形を描け。解答欄には増減表とグラフの概形のみを記せ。
    • (b) n\gt 1として、y=f(x)と2直線x=nx=n^2およびx軸で囲まれる部分D_nの面積S_nを求めよ。
    • (c) D_nx軸のまわりに回転して得られる立体の体積V_nを求めよ。
    • (d) 極限\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{nV_n}{\log n(S_n)}の値を求めよ。