日本医科大学数学2012年第1問
次の各問いに対し、結果のみを解答欄に記せ。
- 問1 $xy$平面上の放物線$C:y=x^2-x-2$の上に2点P、Qをとる。ただし、Pの$x$座標はQの$x$座標より小さいとする。
- (a) 原点Oが線分PQの中点となるとき、直線PQの方程式を求めよ。
- (b) 原点Oが線分PQを2:1に内分するとき、直線PQの方程式を求めよ。
- (c) 原点Oが線分PQを2:1に内分するとき、放物線Cと直線PQによって囲まれる図形の面積を求めよ。
- 問2 $n$を3以上の整数として$1\leqq{j}\leqq{n}$、$1\leqq{k}\leqq{n}$を満たす整数$j$、$k$の組$(j,k)$の全体（$n^2$組ある）の集合を$I$とする。結果はできる限り因数分解した形で記せ。
- (a) 組$(j,k)$が$I$全体を動くとき、積$jk$の総和を求めよ。
- (b) 組$(j,k)$が$j\lt{k}$を満たして$I$の中を動くとき、積$jk$の総和を求めよ。
- (c) 組$(j,k)$が$j\lt{k-1}$を満たして$I$の中を動くとき、積$jk$の総和を求めよ。
- 問3 実数全体で定義された関数$f(x)=x^3-6x$を考える。
- (a) $f(x)$を極小にする$x$の値を求めよ。
- (b) 方程式$f(x)=a$を満たす実数$x$が2つ以上存在するような定数$a$の条件を求めよ。
- (c) 方程式$f(x)=a$および不等式$1\leqq{x}\leqq5$を満たす実数$x$が2つ以上存在するような定数$a$の条件を求めよ。