日本医科大学数学2012年第1問
次の各問いに対し、結果のみを解答欄に記せ。
- 問1 xy平面上の放物線C:y=x2−x−2の上に2点P、Qをとる。ただし、Pのx座標はQのx座標より小さいとする。
- (a) 原点Oが線分PQの中点となるとき、直線PQの方程式を求めよ。
- (b) 原点Oが線分PQを2:1に内分するとき、直線PQの方程式を求めよ。
- (c) 原点Oが線分PQを2:1に内分するとき、放物線Cと直線PQによって囲まれる図形の面積を求めよ。
- 問2 nを3以上の整数として1≦j≦n、1≦k≦nを満たす整数j、kの組(j,k)の全体（n2組ある）の集合をIとする。結果はできる限り因数分解した形で記せ。
- (a) 組(j,k)がI全体を動くとき、積jkの総和を求めよ。
- (b) 組(j,k)がj<kを満たしてIの中を動くとき、積jkの総和を求めよ。
- (c) 組(j,k)がj<k−1を満たしてIの中を動くとき、積jkの総和を求めよ。
- 問3 実数全体で定義された関数f(x)=x3−6xを考える。
- (a) f(x)を極小にするxの値を求めよ。
- (b) 方程式f(x)=aを満たす実数xが2つ以上存在するような定数aの条件を求めよ。
- (c) 方程式f(x)=aおよび不等式1≦x≦5を満たす実数xが2つ以上存在するような定数aの条件を求めよ。