2つの行列$A=\left(\begin{array}{cc}1&2\\-3&6\end{array}\right)$、$B=\left(\begin{array}{cc}a-2&-1\\a^2-2a-4&2a-6\end{array}\right)$に対して、以下の各問いに答えよ。解答欄には答えのみを記せ。

• 問1 行列$A-kE$が逆行列をもたないような定数$k$の値を求めよ。
  ただし$E$は2次の単位行列を表す。
• 問2 問1で求めた$k$の値を小さい順に$\alpha$、$\beta$とするとき、$\alpha P+\beta Q=A$、$P+Q=E$を満たす行列$P$、$Q$を求めよ。
• 問3 行列の積$P^2$、$Q^2$、$PQ$、$QP$を求めよ。
• 問4 行列$A$の$n$乗$A^n(n=1,2,\cdots)$を求めよ。
• 問5 $a\gt 0$として、行列$C$を$C=A+B$と定めるとき、行列$C-kE$が逆行列をもたないような定数$k$の値がただ1つしかないという。このような定数$k$および$a$の値を求めよ。
• 問6 問5で求めた$k$を用いて行列$N$を$N=C-kE$と定めるとき、$N^2$を求めよ。
• 問7 行列$C$の$n$乗$C^n(n=1,2,\cdots)$を求めよ。