日本医科大学数学2013年第2問
自然数$m$、$n$は、$2\leqq m\lt n$を満たすとする。
- 問1 次の不等式が成り立つことを証明せよ。 \[\dfrac{n+1-m}{m(n+1)}\lt\dfrac{1}{m^2}+\dfrac{1}{(m+1)^2}+\cdots+\dfrac{1}{(n-1)^2}+\dfrac{1}{n^2}\lt \dfrac{n+1-m}{n(m-1)}\]
- 問2 次の不等式が成り立つことを証明せよ。 \[\dfrac{3}{2}\leqq\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{2^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}\right)\leqq 2\]
- 問3 問2の不等式をより精密にした、次の不等式が成り立つことを証明せよ。 \[\dfrac{29}{18}\leqq \lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{2^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}\right)\leqq\dfrac{61}{36}\]