日本医科大学数学2013年第2問

自然数

$m$ 、

$n$ は、

$2\leqq m\lt n$ を満たすとする。

問1 次の不等式が成り立つことを証明せよ。 $\dfrac{n+1-m}{m(n+1)}\lt\dfrac{1}{m^2}+\dfrac{1}{(m+1)^2}+\cdots+\dfrac{1}{(n-1)^2}+\dfrac{1}{n^2}\lt \dfrac{n+1-m}{n(m-1)}$
問2 次の不等式が成り立つことを証明せよ。 $\dfrac{3}{2}\leqq\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{2^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}\right)\leqq 2$
問3 問2の不等式をより精密にした、次の不等式が成り立つことを証明せよ。 $\dfrac{29}{18}\leqq \lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{2^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}\right)\leqq\dfrac{61}{36}$