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日本医科大学数学2012年第2問

0<α<πなるαを固定する。Oを原点とするxy平面において、点列A0,A1,A2,を、Akの座標が(cos(α2+kα),sin(α2+kα)) (k=0,1,2,)となるようにとる。ベクトルAkAk+1の成分を(rcosθk,rsinθk) (k=0,1,2,)とおく。ただし、r>0とする。
  • 問1 rθ0θ1θ2αを用いて表せ。結果のみを記せ。
  • 問2 nを正の整数とするとき、等式 OA0+A0A1+A1A2++AnAn+1=OAn+1 を利用して、和nk=0coskαおよび和nk=0sinkαを求め、nαを用いて表せ。
  • 問3 nを正の整数とするとき、和nk=0coskαsinkαを求め、nαを用いて表せ。
  • 問4 極限値limn1nnk=0(αcoskα+sinkα)2を求め、αを用いて表せ。