$0\lt\alpha\lt\pi$なる$\alpha$を固定する。Oを原点とする$xy$平面において、点列$\text{A}_0,\text{A}_1,\text{A}_2,\cdots$を、$\text{A}_k$の座標が$\left(\cos\left(-\dfrac{\alpha}{2}+k\alpha\right),\sin\left(-\dfrac{\alpha}{2}+k\alpha\right)\right)~(k=0,1,2,\cdots)$となるようにとる。ベクトル$\overrightarrow{\text{A}_k\text{A}_{k+1}}$の成分を$(r\cos\theta_k,r\sin\theta_k)~(k=0,1,2,\cdots)$とおく。ただし、$r\gt0$とする。

• 問1 $r$、$\theta_0$、$\theta_1$、$\theta_2$を$\alpha$を用いて表せ。結果のみを記せ。
• 問2 $n$を正の整数とするとき、等式 \[\overrightarrow{\text{O}\text{A}_0}+\overrightarrow{\text{A}_0\text{A}_1}+\overrightarrow{\text{A}_1\text{A}_2}+\cdots+\overrightarrow{\text{A}_n\text{A}_{n+1}}=\overrightarrow{\text{O}\text{A}_{n+1}}\] を利用して、和$\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\cos{k}\alpha$および和$\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\sin{k}\alpha$を求め、$n$、$\alpha$を用いて表せ。
• 問3 $n$を正の整数とするとき、和$\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\cos{k}\alpha\sin{k}\alpha $を求め、$n$、$\alpha$を用いて表せ。
• 問4 極限値$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\sum_{k=0}^{n}(\alpha\cos{k}\alpha+\sin{k}\alpha)^2$を求め、$\alpha$を用いて表せ。