日本医科大学数学2012年第2問
0<α<πなるαを固定する。Oを原点とするxy平面において、点列A0,A1,A2,⋯を、Akの座標が(cos(−α2+kα),sin(−α2+kα)) (k=0,1,2,⋯)となるようにとる。ベクトル→AkAk+1の成分を(rcosθk,rsinθk) (k=0,1,2,⋯)とおく。ただし、r>0とする。
- 問1 r、θ0、θ1、θ2をαを用いて表せ。結果のみを記せ。
- 問2 nを正の整数とするとき、等式 →OA0+→A0A1+→A1A2+⋯+→AnAn+1=→OAn+1 を利用して、和n∑k=0coskαおよび和n∑k=0sinkαを求め、n、αを用いて表せ。
- 問3 nを正の整数とするとき、和n∑k=0coskαsinkαを求め、n、αを用いて表せ。
- 問4 極限値limn→∞1nn∑k=0(αcoskα+sinkα)2を求め、αを用いて表せ。