$\triangle{\text{ABC}}$において、$\text{BC}=a$、$\text{CA}=b$、$\text{AB}=c$として、頂点$\text{A}$、$\text{B}$、$\text{C}$から対辺、またはその延長に下した垂線の長さをそれぞれ$h_a$、$h_b$、$h_c$とする。いま、$\triangle{\text{ABC}}$内の一点$\text{P}$から、辺$\text{BC}$、$\text{CA}$、$\text{AB}$、またはその延長に下した垂線の長さをそれぞれ$x_a$、$x_b$、$x_c$とする。点$\text{O}$を平面上の定点とする。

• (1) $ah_a=bh_b=ch_c$を示せ。
• (2) $\dfrac{x_a}{h_a}+\dfrac{x_b}{h_b}+\dfrac{x_c}{h_c}$は、点$\text{P}$の位置によらず一定であることを示せ。
• (3) 点$\text{P}$を通り$\text{BC}$に平行な直線をひき、辺$\text{AB}$との交点を$\text{D}$とする。$\overrightarrow{\text{OB}}$を$\overrightarrow{\text{OA}}$、$\overrightarrow{\text{OB}}$、$h_a$、$x_a$で表せ。
• (4) $\overrightarrow{\text{OP}}=k\overrightarrow{\text{OA}}+l\overrightarrow{\text{OB}}+m\overrightarrow{\text{OC}}$、$k+l+m=1$となる$k$、$l$、$m$を$x_a$、$x_b$、$x_c$、$h_a$、$h_b$、$h_c$で表せ。