大阪医科大学数学2013年第1問

$\triangle{\text{ABC}}$ において、

$\text{BC}=a$ 、

$\text{CA}=b$ 、

$\text{AB}=c$ として、頂点

$\text{A}$ 、

$\text{B}$ 、

$\text{C}$ から対辺、またはその延長に下した垂線の長さをそれぞれ

$h_a$ 、

$h_b$ 、

$h_c$ とする。いま、

$\triangle{\text{ABC}}$ 内の一点

$\text{P}$ から、辺

$\text{BC}$ 、

$\text{CA}$ 、

$\text{AB}$ 、またはその延長に下した垂線の長さをそれぞれ

$x_a$ 、

$x_b$ 、

$x_c$ とする。点

$\text{O}$ を平面上の定点とする。

(1) $ah_a=bh_b=ch_c$ を示せ。
(2) $\dfrac{x_a}{h_a}+\dfrac{x_b}{h_b}+\dfrac{x_c}{h_c}$ は、点 $\text{P}$ の位置によらず一定であることを示せ。
(3) 点 $\text{P}$ を通り $\text{BC}$ に平行な直線をひき、辺 $\text{AB}$ との交点を $\text{D}$ とする。 $\overrightarrow{\text{OB}}$ を $\overrightarrow{\text{OA}}$ 、 $\overrightarrow{\text{OB}}$ 、 $h_a$ 、 $x_a$ で表せ。
(4) $\overrightarrow{\text{OP}}=k\overrightarrow{\text{OA}}+l\overrightarrow{\text{OB}}+m\overrightarrow{\text{OC}}$ 、 $k+l+m=1$ となる $k$ 、 $l$ 、 $m$ を $x_a$ 、 $x_b$ 、 $x_c$ 、 $h_a$ 、 $h_b$ 、 $h_c$ で表せ。