大阪医科大学数学2013年第4問
- (1) 2つの異なる自然数$m$、$n$に対して、$\displaystyle\int_{-1}^1{\sin}m\pi x{\sin}n\pi x~dx$を求めよ。
- (2) 自然数$n$に対して、$\displaystyle \int _{-1}^1\sin^2n\pi x~dx$を求めよ。
- (3) 自然数$n$に対して、$\displaystyle \int _{-1}^1x{\sin}n\pi x~dx$を求めよ。
- (4) $N$を自然数とし、$c_n(1\leqq n\leqq N)$を実数として、$f(x)=\sum\limits_{n=1}^Nc_n{\sin}n\pi x$とおく。$c_n(1\leqq n\leqq N)$を変化させるとき、
$\displaystyle \int_{-1}^1(x-f(x))^2dx$が最小になる$c_n(1\leqq n\leqq N)$の値を求めよ。