空間に四面体$\text{OABC}$がある。$\triangle\text{OAB}$、$\triangle\text{OBC}$、$\triangle\text{OCA}$の垂心をそれぞれ$\text{P}$、$\text{Q}$、$\text{R}$とする。ここで三角形の垂心とは、各頂点からそれぞれの対辺またはその延長に下ろした3本の垂線の交点である。次の記号を用いる。

• $\overrightarrow{\text{OA}}=\vec{a}$、
• $\overrightarrow{\text{OB}}=\vec{b}$、
• $\overrightarrow{\text{OC}}=\vec{c}$、
• $|\vec{a}|=a$、
• $|\vec{b}|=b$、
• $|\vec{c}|=c$、
• $\vec{a}\cdot\vec{b}=f$、
• $\vec{b}\cdot\vec{c}=g$、
• $\vec{c}\cdot\vec{a}=h$
1. 直線$\text{OA}$上の点$\text{D}$が$\vec{a}\perp\overrightarrow{\text{BD}}$をみたすとき、$\overrightarrow{\text{OD}}$を$\vec{a}$、$a$、$f$を用いて表せ。
2. $\overrightarrow{\text{OP}}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$、$a$、$b$、$f$を用いて表せ。
3. $a=b=c=1$かつ$f=g=h$のとき、3直線$\text{AQ}$、$\text{BR}$、$\text{CP}$は1点で交わることを示し、その交点を$\text{M}$とするとき、$\overrightarrow{\text{OM}}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$と$f$を用いて表せ。