大阪医科大学数学2013年第2問
正の数$c$は$c^2=c+1$をみたすとする。$n$は自然数とする。
- (1) $c$は無理数であることを示せ。
- (2) $c^n=a_nc+b_n$をみたす整数の組$(a_n,~b_n)$が存在することを示せ。
- (3) 2組の整数の組$(a_n,~b_n)$、$(a’_n,~b’_n)$に対して、$c^n=a_nc+b_n$、$c^n=a’_nc+b’_n$が成り立つならば、$a_n=a’_n$、$b_n=b’_n$であることを示せ。
- (4) $m$を自然数とする。(2)、(3)で一通りに定められた整数$a_n$、$a_{mn}$、に対して、$a_{mn}$は$a_n$の倍数であることを示せ。