大阪医科大学数学2013年第4問

(1) 2つの異なる自然数 $m$ 、 $n$ に対して、 $\displaystyle\int_{-1}^1{\sin}m\pi x{\sin}n\pi x~dx$ を求めよ。
(2) 自然数 $n$ に対して、 $\displaystyle \int _{-1}^1\sin^2n\pi x~dx$ を求めよ。
(3) 自然数 $n$ に対して、 $\displaystyle \int _{-1}^1x{\sin}n\pi x~dx$ を求めよ。
(4) $N$ を自然数とし、 $c_n(1\leqq n\leqq N)$ を実数として、 $f(x)=\sum\limits_{n=1}^Nc_n{\sin}n\pi x$ とおく。 $c_n(1\leqq n\leqq N)$ を変化させるとき、
$\displaystyle \int_{-1}^1(x-f(x))^2dx$ が最小になる $c_n(1\leqq n\leqq N)$ の値を求めよ。