図のように、水平面上の点$\text{P}$に高さ$2H$[m]の崖が垂直に立ち、崖の上は滑らかな水平面になっている。崖の端の点$\text{O}$には質量$m$[kg]の小球$\text{A}$が置かれ静止している。点$\text{P}$から距離$L$[m]離れた点$\text{Q}$には高さ$H$[m]の薄いブロックが垂直に固定されている。ブロックの上部は滑らかな水平面である。

崖の上の面上で、質量$M$[kg]の小球$\text{B}$を速さ$v_0$[m/s]で小球$\text{A}$に衝突させると、小球$\text{A}$と小球$\text{B}$はそれぞれ水平方向の速さ$v_\text{A}$[m/s]および$v_\text{B}$[m/s]で崖を飛び出し、落下した。小球$\text{A}$は崖を飛び出した後、ブロックの上面で跳ね返り、点$\text{Q}$から$S$[m]離れた水平面上の点$\text{R}$に落下した。小球$\text{A}$と$\text{B}$との衝突は、直線$\text{PQ}$と平行な一直線上の完全弾性衝突であり、小球$\text{A}$とブロックとの衝突は非弾性衝突(はねかえり係数$e;0\lt e\lt 1$)であった。重力加速度を$g$[m/s²]として、以下の問に答えよ。ただし、運動の向きは、水平方向は図の右向きを正、鉛直方向は上向きを正とする。

• (1) 小球$\text{A}$と$\text{B}$が衝突した直後のそれぞれの速さ$v_\text{A}$および$v_\text{B}$を$M$、$m$、$v_0$を用いて表せ。
• (2) 小球$\text{A}$と$\text{B}$の両方が崖を飛び出すためには、$M$と$m$の間にはどんな関係がなければならないか。
• (3) $v_\text{A}$を$M$、$m$、$H$、$L$、$g$のうち適当なものを用いて表せ。
• (4) $v_0$を$M$、$m$、$H$、$L$、$g$のうち適当なものを用いて表せ。
• (5) 小球$\text{A}$がブロックで跳ね返る直前の速度の鉛直成分$v_y$[m/s]を$M$、$m$、$H$、$L$、$g$のうち適当なものを用いて表せ。
• (6)
  • (a) ブロックで跳ね返った直後の小球$\text{A}$の速度の水平方向と鉛直方向の成分$V_x$[m/s]、$V_y$[m/s]のそれぞれを$M$、$m$、$H$、$L$、$g$、$e$のうち適当なものを用いて表せ。
  • (b) 小球$\text{A}$がブロック上で跳ね返ったのち、初めて水平面上に落ちるまでにかかる時間$T$[s]を$M$、$m$、$H$、$L$、$g$、$e$のうち適当なものを用いて表せ。
  • (c) 点$\text{Q}$と点$\text{R}$の間の距離$S$を$M$、$m$、$H$、$L$、$g$、$e$のうち適当なものを用いて表せ。
  • (d) $S=2L$となるためには、$e$の値はいくらでなければならないか。
• (7) ブロックとの衝突で小球$\text{A}$が失う力学的エネルギーを$K$[J]と表すとき、
  • (a) $K$を$M$、$m$、$H$、$L$、$g$、$e$のうち適当なものを用いて表せ。
  • (b) 小球$\text{A}$とブロックの衝突が完全弾性衝突であったとすれば、$K$の値はいくらになるか。