産業医科大学数学2013年第1問
空欄にあてはまる適切な数、式、記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい。
- (1) 100円、50円、10円の硬貨がそれぞれたくさんあるとする。ある品物を買うのに2300円かかるとき、このお金による支払い方の総数は$\fbox{ア}$である。
- (2) 整式$P(x)$を$x^2-4x+3$で割ったときの余りは$x+1$であり、$x^2-3x+2$で割ったときの余りは$3x-1$である。$P(x)$を$x^3-6x^2+11x-6$で割ったときの余りは$\fbox{イ}$である。
- (3) 数列の極限$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sum\limits_{k=1}^{2n}(k+n)^2}{\sum\limits_{k=1}^{2n}k^2 }n$の値は$\fbox{ウ}$である。
- (4) $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$で表される座標平面上の曲線を$C$とする。曲線$C$上の$x$座標が$s(0\lt s\lt 1)$である点における接線を$l$とする。接線$l$と曲線$C$および$x$軸、$y$軸とで囲まれた部分を、$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積の最小値は$\fbox{エ}$である。また、そのときの$s$の値は$\fbox{オ}$である。
- (5) 原点を$\text{O}$とする座標平面上の2点$\text{A}(1,~0)$、$\text{B}(0,~1)$を結ぶ線分上に点$\text{P}$がある。$\theta=\angle{\text{AOP}}$とし、線分$\text{OP}$の長さを$r$とするとき、$r$は$\theta$の関数として$r=f(\theta)$と表せる。このとき定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\theta)d\theta$の値は$\fbox{カ}$であり、$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\theta)^2\cos\theta d\theta$の値は$\fbox{キ}$である。
- (6) $ \text{A}$が1枚のカードを、$\text{B}$が4枚のカードを持っている。 表が出る確率と裏が出る確率がそれぞれ$\dfrac{1}{2}$の偏りのないコインを投げて、表が出れば$\text{A}$は$\text{B}$からカードを1枚もらう。裏が出れば$\text{A}$は$\text{B}$にカードを1枚わたす。ただし、手もとにカードがなければわたさなくてよい。この試行を4回くり返した後、$\text{A}$の手もとに残るカードの枚数の期待値は$\fbox{ク}$である。