産業医科大学数学2013年第1問

空欄にあてはまる適切な数、式、記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい。

(1) 100円、50円、10円の硬貨がそれぞれたくさんあるとする。ある品物を買うのに2300円かかるとき、このお金による支払い方の総数は $\fbox{ア}$ である。
(2) 整式 $P(x)$ を $x^2-4x+3$ で割ったときの余りは $x+1$ であり、 $x^2-3x+2$ で割ったときの余りは $3x-1$ である。 $P(x)$ を $x^3-6x^2+11x-6$ で割ったときの余りは $\fbox{イ}$ である。
(3) 数列の極限 $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sum\limits_{k=1}^{2n}(k+n)^2}{\sum\limits_{k=1}^{2n}k^2 }n$ の値は $\fbox{ウ}$ である。
(4) $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ で表される座標平面上の曲線を $C$ とする。曲線 $C$ 上の $x$ 座標が $s(0\lt s\lt 1)$ である点における接線を $l$ とする。接線 $l$ と曲線 $C$ および $x$ 軸、 $y$ 軸とで囲まれた部分を、 $x$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積の最小値は $\fbox{エ}$ である。また、そのときの $s$ の値は $\fbox{オ}$ である。
(5) 原点を $\text{O}$ とする座標平面上の2点 $\text{A}(1,~0)$ 、 $\text{B}(0,~1)$ を結ぶ線分上に点 $\text{P}$ がある。 $\theta=\angle{\text{AOP}}$ とし、線分 $\text{OP}$ の長さを $r$ とするとき、 $r$ は $\theta$ の関数として $r=f(\theta)$ と表せる。このとき定積分 $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\theta)d\theta$ の値は $\fbox{カ}$ であり、 $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\theta)^2\cos\theta d\theta$ の値は $\fbox{キ}$ である。
(6) $\text{A}$ が1枚のカードを、 $\text{B}$ が4枚のカードを持っている。表が出る確率と裏が出る確率がそれぞれ $\dfrac{1}{2}$ の偏りのないコインを投げて、表が出れば $\text{A}$ は $\text{B}$ からカードを1枚もらう。裏が出れば $\text{A}$ は $\text{B}$ にカードを1枚わたす。ただし、手もとにカードがなければわたさなくてよい。この試行を4回くり返した後、 $\text{A}$ の手もとに残るカードの枚数の期待値は $\fbox{ク}$ である。