産業医科大学数学2012年第1問
空欄にあてはまる適切な数、式、記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい。
- (1) 実数$x$に対して、$x$以下の最大の整数を$[x]$で表す。例えば$[3]=3$、$[3.14]=3$、$[-3.14]=-4$である。実数$x$について、方程式$4x-3[x]=0$の解の個数は$\fbox{ア}$であり、方程式$x^2-3x+[3x]=0$の解の個数は$\fbox{イ}$である。
- (2) $a$、$b$、$c$を$a+b+c=\pi$を満たす正の実数とするとき、$\sin(a)\sin(b)\sin(c)$の最大値は$\fbox{ウ}$である。
- (3) 原点を$\text{O}$とする座標空間内の3点$\text{A}(-1, ~1,~ 1)$、$\text{B}(1, ~-1,~ 1)$、$\text{C}(1,~1,~-1)$について$\Delta\text{ABC}$は正三角形である、$\Delta\text{ABC}$を1つの面にもつ正四面体の他の頂点$\text{D}$の座標は$\fbox{エ}$または$\fbox{オ}$である。
- (4) 定積分$\displaystyle\int_{3}^{4}\frac{6x+5}{x^3-3x-2}dx$の値は$\fbox{カ}$である。
- (5) 123から789までの3桁の数から、1つを無作為に選び出すとき、同じ数字が2つ以上含まれている確率は$\fbox{キ}$である。
- (6) 数直線上の点Pは。原点Oを出発して、次のルールに従って移動するとする。
「1つのさいころを振り、3以下の目が出たときは右に1、5以上の目が出たときは左に1、それぞれ動く。また、4の目が出たときは動かない。点Pの座標が-1になったら、さいころを振るのを止め点Pはそこにとどまる。それ以外のときは、さいころをまた振る。」
さいころを多くとも3回振り移動も終えた後の、点Pの座標の期待値は$\fbox{ク}$である。