産業医科大学数学2012年第1問

空欄にあてはまる適切な数、式、記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい。

(1) 実数 $x$ に対して、 $x$ 以下の最大の整数を $[x]$ で表す。例えば $[3]=3$ 、 $[3.14]=3$ 、 $[-3.14]=-4$ である。実数 $x$ について、方程式 $4x-3[x]=0$ の解の個数は $\fbox{ア}$ であり、方程式 $x^2-3x+[3x]=0$ の解の個数は $\fbox{イ}$ である。
(2) $a$ 、 $b$ 、 $c$ を $a+b+c=\pi$ を満たす正の実数とするとき、 $\sin(a)\sin(b)\sin(c)$ の最大値は $\fbox{ウ}$ である。
(3) 原点を $\text{O}$ とする座標空間内の3点 $\text{A}(-1, ~1,~ 1)$ 、 $\text{B}(1, ~-1,~ 1)$ 、 $\text{C}(1,~1,~-1)$ について $\Delta\text{ABC}$ は正三角形である、 $\Delta\text{ABC}$ を1つの面にもつ正四面体の他の頂点 $\text{D}$ の座標は $\fbox{エ}$ または $\fbox{オ}$ である。
(4) 定積分 $\displaystyle\int_{3}^{4}\frac{6x+5}{x^3-3x-2}dx$ の値は $\fbox{カ}$ である。
(5) 123から789までの3桁の数から、1つを無作為に選び出すとき、同じ数字が2つ以上含まれている確率は $\fbox{キ}$ である。
(6) 数直線上の点Pは。原点Oを出発して、次のルールに従って移動するとする。
「1つのさいころを振り、3以下の目が出たときは右に1、5以上の目が出たときは左に1、それぞれ動く。また、4の目が出たときは動かない。点Pの座標が-1になったら、さいころを振るのを止め点Pはそこにとどまる。それ以外のときは、さいころをまた振る。」
さいころを多くとも3回振り移動も終えた後の、点Pの座標の期待値は $\fbox{ク}$ である。