自然数$n$と0以上の整数$m$に対して、$p_n=_{2n}\hspace{-.3em}C_n\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)^{2n}$、$\displaystyle I_m=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^mxdx$とおく、次の問いに答えなさい。

• (1) すべての自然数$n$について$\bigg(n+\dfrac{1}{2}\bigg){p_n}^2=\dfrac{bI_{2n}}{I_{2n+1}}$が成り立つように、定数bの値を求めなさい。
• (2) $0\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}$のとき、$\sin^mx\gt\sin^{m+1}x\gt0$であることを用いて、極限$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sqrt{n}p_n$を求めなさい。