$\text{O}$を中心とする半径1の円周上に相異なる3点$\text{A}$、$\text{B}$、$\text{C}$がある。$\overrightarrow{\text{OA}}=\vec{a}$、$\overrightarrow{\text{OB}}=\vec{b}$、$\overrightarrow{\text{OC}}=\vec{c}$とおき、$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\neq 0$とする。線分$\text{AB}$、$\text{BC}$、$\text{CA}$の中点を、それぞれ$\text{P}$、$\text{Q}$、$\text{R}$とし、$\overrightarrow{\text{OP}}=\vec{p}$、$\overrightarrow{\text{OQ}}=\vec{q}$、$\overrightarrow{\text{OR}}=\vec{r}$とおく。
このとき、以下の$\fbox{1}$～$\fbox{6}$について適切な値を、$\fbox{イ}$には適切な式を解答欄に答えなさい。また、$\fbox{ア}$、$\fbox{ウ}$には下部の選択肢からもっともふさわしいものを選択して、解答欄に記入しなさい。
ベクトル$\vec{d}=\dfrac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$とすると、 \[|\vec{d}-\vec{p}|=|\vec{d}-\vec{q}|=|\vec{d}-\vec{r}|=\fbox{1}\] となり、$\overrightarrow{\text{OD}}=\vec{d}$によって定まる点$\text{D}$は$\triangle{\text{PQR}}$の$\fbox{ア}$となることがわかる。
いま、線分$\text{AB}$の長さを1、線分$\text{AC}$の長さを、$\sqrt{3}$とし、$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$は、どの2つも平行ではないとする。このとき、線分$\text{BC}$の長さは$\fbox{2}$であり、$\vec{a}\cdot\vec{c}=\fbox{3}$である。
また、$\vec{b}$を$\vec{a}$と$\vec{c}$で表すと、$\vec{b}=\fbox{イ}$となる。
また、$\triangle{\text{PQR}}$について、$\angle{\text{QPR}}$の二等分線と辺$\text{QR}$の交点を$\text{S}$とおき、$\overrightarrow{\text{PS}}$を$\vec{a}$と$\vec{c}$で表すと、 \[\overrightarrow{\text{PS}}=\fbox{4}\vec{a}+\fbox{5}\vec{c}\] とかける。同様にして、$\angle{\text{PQR}}$の二等分線と辺$\text{PR}$の交点を$\text{T}$とおく。線分$\text{PS}$と線分$\text{QT}$の交点を$\text{U}$とおくと、$\text{U}$は$\triangle{\text{PQR}}$の$\fbox{ウ}$となり、 \[\overrightarrow{\text{OU}}=\fbox{6}\vec{b}\]となることがわかる。
選択肢
重心、内心、外心