聖マリアンナ医科大学数学2013年第3問
Oを中心とする半径1の円周上に相異なる3点A、B、Cがある。→OA=→a、→OB=→b、→OC=→cとおき、→a+→b+→c≠0とする。線分AB、BC、CAの中点を、それぞれP、Q、Rとし、→OP=→p、→OQ=→q、→OR=→rとおく。
このとき、以下の1~6について適切な値を、イには適切な式を解答欄に答えなさい。また、ア、ウには下部の選択肢からもっともふさわしいものを選択して、解答欄に記入しなさい。
ベクトル→d=12(→a+→b+→c)とすると、 |→d−→p|=|→d−→q|=|→d−→r|=1 となり、→OD=→dによって定まる点Dは△PQRのアとなることがわかる。
いま、線分ABの長さを1、線分ACの長さを、√3とし、→a、→b、→cは、どの2つも平行ではないとする。このとき、線分BCの長さは2であり、→a⋅→c=3である。
また、→bを→aと→cで表すと、→b=イとなる。
また、△PQRについて、∠QPRの二等分線と辺QRの交点をSとおき、→PSを→aと→cで表すと、 →PS=4→a+5→c とかける。同様にして、∠PQRの二等分線と辺PRの交点をTとおく。線分PSと線分QTの交点をUとおくと、Uは△PQRのウとなり、 →OU=6→bとなることがわかる。
選択肢
重心、内心、外心
このとき、以下の1~6について適切な値を、イには適切な式を解答欄に答えなさい。また、ア、ウには下部の選択肢からもっともふさわしいものを選択して、解答欄に記入しなさい。
ベクトル→d=12(→a+→b+→c)とすると、 |→d−→p|=|→d−→q|=|→d−→r|=1 となり、→OD=→dによって定まる点Dは△PQRのアとなることがわかる。
いま、線分ABの長さを1、線分ACの長さを、√3とし、→a、→b、→cは、どの2つも平行ではないとする。このとき、線分BCの長さは2であり、→a⋅→c=3である。
また、→bを→aと→cで表すと、→b=イとなる。
また、△PQRについて、∠QPRの二等分線と辺QRの交点をSとおき、→PSを→aと→cで表すと、 →PS=4→a+5→c とかける。同様にして、∠PQRの二等分線と辺PRの交点をTとおく。線分PSと線分QTの交点をUとおくと、Uは△PQRのウとなり、 →OU=6→bとなることがわかる。
選択肢
重心、内心、外心