$e$を自然対数の底、$b$を実数として、数列$\{a_n\}$$(n=1,2,3,\cdots)$が条件$\eqref{aa}$および$\eqref{ab}$を満たしているとき、設問[1]および[2]に答えなさい。 \[a_1=\dfrac{e-e^2+b}{1-e}\tag{1}\label{aa}\] \[a_{n+1}=ea_n+b\tag{2}\label{ab}\]

• [1] $b=11$のとき、$a_n$を$n$の式で表すと、
  $a_n=\fbox{1}$となる。
  また、
  $\sum\limits_{k=1}^n\log_e\left(a_k+\dfrac{11}{e-1}\right)=\fbox{2}$となる。
• [2] $b=e^{11}$のとき、$\sum\limits_{k=1}^na_k$の値は$n=\fbox{3}$のとき最小となる。