聖マリアンナ医科大学数学2012年第1問
空間内に、同じ平面上にない4つの点O、A、B、Cがある。ΔOAB、ΔOACの重心をそれぞれG、G′とし、線分OCを2:3に内分する点をP、線分ABをt:(1−t)に内分する点をQとする。ただし、tは0<t<1なる定数である。また、→a=→OA、→b=→OB、→c=→OCとおく。以下の1から10に答えなさい。
このとき、→OQ=1→a+2→b+3→c、→OG=4→a+5→b+6→cである。また線分GG′と線分PQが交わるときt=7であり、線分GG′と線分PQの交点Rは線分PQを8:9に内分する。さらに、→a⋅→c=25、→b⋅→c=415で、線分PQと線分OPが直交するならば、|→c|=10である。
なお、この空間の任意のベクトル→mは、実数u、v、wを用いて、 →m=u→a+v→b+w→cの形に表すことができ、しかも、表し方はただ1通りである。