空間内に、同じ平面上にない4つの点$\text{O}$、$\text{A}$、$\text{B}$、$\text{C}$がある。$\Delta\text{OAB}$、$\Delta\text{OAC}$の重心をそれぞれ$\text{G}$、$\text{G}'$とし、線分$\text{OC}$を$2:3$に内分する点を$\text{P}$、線分$\text{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\text{Q}$とする。ただし、$t$は$0\lt t\lt1$なる定数である。また、$\vec{a}=\overrightarrow{\text{OA}}$、$\vec{b}=\overrightarrow{\text{OB}}$、$\vec{c}=\overrightarrow{\text{OC}}$とおく。以下の$\fbox{1}$から$\fbox{10}$に答えなさい。

このとき、$\overrightarrow{\text{OQ}}=\fbox{1}\vec{a}+\fbox{2}\vec{b}+\fbox{3}\vec{c}$、$\overrightarrow{\text{OG}}=\fbox{4}\vec{a}+\fbox{5}\vec{b}+\fbox{6}\vec{c}$である。また線分$\text{GG}'$と線分$\text{PQ}$が交わるとき$t=\fbox{7}$であり、線分$\text{GG}'$と線分$\text{PQ}$の交点$\text{R}$は線分$\text{PQ}$を$\fbox{8}:\fbox{9}$に内分する。さらに、$\vec{a}\cdot\vec{c}=\dfrac{2}{5}$、$\vec{b}\cdot\vec{c}=\dfrac{4}{15}$で、線分$\text{PQ}$と線分$\text{OP}$が直交するならば、$|\vec{c}|=\fbox{10}$である。

なお、この空間の任意のベクトル$\vec{m}$は、実数$u$、$v$、$w$を用いて、 \[\vec{m}=u\vec{a}+v\vec{b}+w\vec{c}\]の形に表すことができ、しかも、表し方はただ1通りである。