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聖マリアンナ医科大学数学2012年第1問

空間内に、同じ平面上にない4つの点OABCがある。ΔOABΔOACの重心をそれぞれGGとし、線分OC2:3に内分する点をP、線分ABt:(1t)に内分する点をQとする。ただし、t0<t<1なる定数である。また、a=OAb=OBc=OCとおく。以下の1から10に答えなさい。

このとき、OQ=1a+2b+3cOG=4a+5b+6cである。また線分GGと線分PQが交わるときt=7であり、線分GGと線分PQの交点Rは線分PQ8:9に内分する。さらに、ac=25bc=415で、線分PQと線分OPが直交するならば、|c|=10である。

なお、この空間の任意のベクトルmは、実数uvwを用いて、 m=ua+vb+wcの形に表すことができ、しかも、表し方はただ1通りである。