昭和大学数学2012年第3問

次の各問に答えよ。ただし、答は結果のみを解答欄に記入せよ。

(1) 正の数 $a$ 、 $b$ が $a^3+b^3=5$ を満たすとき、 $a+b$ のとりうる値の範囲を求めよ。
(2) $x\gt0$ 、 $x\ne1$ のとき、 $1+\dfrac{1}{\log_2x}-\dfrac{3}{\log_3x}\lt0$ を満たす $x$ の範囲を求めよ。
(3) 点 $\text{P}$ が楕円 $x^2+5(y-1)^2=5$ 上を動くとき、原点 $\text{O}$ と点 $\text{P}$ を結ぶ線分の長さの最大値を求めよ。
(4) $A=\begin{pmatrix} 3& -5 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$ 、 $I=\begin{pmatrix} 1& 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ とする。 $(I+A)^{2012}=mI+nA$ となる実数 $m$ 、 $n$ の値を求めよ。