帝京大学数学2012年第1問

次の四角にあてはまる数を求め、解答のみを解答欄に記入しなさい。

(1) $x$ の3次関数 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ ( $a$ 、 $b$ 、 $c$ は定数)について、 $f(x)$ は $x=1$ で極値をとるとする。また、 $f(x)$ を $x$ の整式と考えて $x^2-3x+2$ で割ると余りが $2x+1$ になるとする。このとき、 $a=\fbox{ア}$ であり、関数 $f(x)$ は、 $x=1$ で極値をとる以外に、 $x=\fbox{イ}$ で極値をとる。
(2) $x=\log_74$ のとき、 $2^{\frac{1}{x}}=\fbox{ウ}$ である。
(3) $a$ 、 $b$ は定数で、 $a\gt0$ とするとき、 $x$ の関数 $f(x)=a\cos^2x+2b\cos x\sin x-a\sin^2x~(0\leqq x\leqq\pi)$ の最大値が1であり、 $f\bigg(\dfrac{\pi}{6}\bigg)=0$ であるとする。このとき、 $a=\fbox{エ}$ であり、関数 $f(x)$ の最大値を与える $x$ の値は、 $x=\fbox{オ}\pi$ である。
(4) 四面体 $\text{OABC}$ において、 $\Delta\text{ABC}$ の重心を $\text{G}$ とする。辺 $\text{OA}$ 上に点 $\text{P}$ があって、直線 $\text{OG}$ と $\Delta\text{PBC}$ の交点を $\text{M}$ とするとき、点 $\text{M}$ は線分 $\text{OG}$ の中点であるとする。このとき、 $\text{OP}:\text{OA}=1:\fbox{カ}$ である。さらに、直線 $\text{PM}$ と辺 $\text{BC}$ の交点を $\text{Q}$ とするとき、 $\text{PM}:\text{PQ}=1:\fbox{キ}$ である。また、四面体 $\text{MABQ}$ の体積：四面体 $\text{OABC}$ の体積 $=1:\fbox{ク}$ である。