東邦大学数学2013年第1問

$\fbox{1}$ $x^9-1$ を $x+1$ で割ったときの商を $P(x)$ とするとき、 $P(x)$ を $x-2$ で割ったときの余りは $\fbox{アイウ}$ である。
$\fbox{2}$ $x$ を実数とする。 $104$ 、 $5x$ 、 $x^2$ が三角形の3辺の長さとなるような $x$ の値の範囲は $\fbox{エ}\lt x\lt\fbox{オカ}$ である。
$\fbox{3}$ $0^\circ\leqq\theta\leqq 90^\circ$ の $\theta$ に対して、 $7\sin\theta+\cos\theta=5$ が成り立っているとき、 $\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}+\dfrac{\cos\theta}{1+\sin\theta}$ の値は $\dfrac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}}$ である。
$\fbox{4}$ 右図のように、円周上の4点 $\text{A}$ 、 $\text{B}$ 、 $\text{C}$ 、 $\text{D}$ に対して、直線 $\text{AB}$ と直線 $\text{CD}$ の交点を $\text{E}$ とし、 $\text{AB}=4$ 、 $\text{AE}=5$ 、 $\angle{\text{AED}}=90^\circ$ とする。線分 $\text{CD}$ 上を動く点 $\text{P}$ が $\angle{\text{AFP}}$ を最大にするとき、 $\text{EP}=\fbox{ケ}\sqrt{\fbox{コ}}$ である。
$\fbox{5}$ 座標平面上に、原点 $(0,~0)$ から出発する動点 $\text{P}$ がある。サイコロを1回ふり、1または2の目が出たとき点 $\text{P}$ は $x$ 軸の正の方向に1だけ移動し、3または4の目が出たときは $y$ 軸の正の方向に1だけ移動し、5または6の目が出たときは動かないとする。
サイコロを4回ふった結果、点 $\text{P}$ が原点 $(0,~0)$ から点 $(m,~n)$ に移動する確率を $\text{P}(m,~n)$ で表すとき、 $\sum\limits_{k=0}^2\text{P}(2,~k)=\dfrac{\fbox{サ}}{\fbox{シス}}$ である。
$\fbox{6}$ 数列 $\dfrac{1}{2},~\dfrac{3}{4},~\dfrac{3}{2},~\dfrac{5}{6},~\dfrac{5}{4},~\dfrac{5}{2},~\dfrac{7}{8},~\dfrac{7}{6},~\dfrac{7}{4},~\dfrac{7}{2},~\dfrac{9}{10},~\dfrac{9}{8},~\cdots$ において、第250項は $\dfrac{\fbox{セソ}}{\fbox{タ}}$ である。
$\fbox{7}$ $(1-x)^5(1+y)^6\left(1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^7$ の展開式における、 $x^4y^5$ の項の係数は、 $\fbox{チツテ}$ である。
$\fbox{8}$ 実数 $x$ 、 $y$ 、 $z$ が、 $\log_4z=-\dfrac{1}{2}+\log_2\sqrt{\dfrac{x+y}{2}}$ 、 $27^{xy-1}=3^{z+2xy+2}$ を満たすとき、 $z$ の取りうる値の範囲は $z\geqq\dfrac{\fbox{ト}}{\fbox{ナ}}$ である。
$\fbox{9}$ $x$ を自然数とし、 $e$ を自然対数の底とする。 $n$ の関数 $f(n)$ を、 $f(n)=\log_e(_{2n}C_n)+n\left\{1-\log_e\left(\dfrac{n}{4!}\right)\right\}+\log_e(n!)$ で定める。
$X=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{f(n)}{n}$ とおくとき、 $e^X=\fbox{ニヌ}$ である。
$\fbox{10}$ 関数 $f(x)=\sqrt{2+x}$ について、 $\lim\limits_{h\to\infty}{\dfrac{1}{h}\left\{\dfrac{f(2+h)}{f(2-h)}-\left(\dfrac{3-h}{3+h}\right)^3\right\}}=\dfrac{\fbox{ネ}}{\fbox{ノ}}$ である。
$\fbox{11}$ 実数 $x$ 、 $y$ が、 $x^2+y^2\leqq\dfrac{3}{2}$ を満たすとき、 $\dfrac{y}{{x-2}^2}$ の最大値は $\dfrac{\sqrt{\fbox{ハ}}}{\fbox{ヒ}}$ である。
$\fbox{12}$ $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ を正の実数とし、 $ad-bc\neq 0$ とする。行列 $A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)$ について、 $A-A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-3&6\\6&3\end{array}\right)$ が成り立つとき、 $a+d=\fbox{フ}$ 、 $ad-bc=\fbox{ヘ}$ である。
$\fbox{13}$ 三角形 $\text{ABC}$ は、3辺の長さがそれぞれ $\text{AB}=3$ 、 $\text{BC}=\sqrt{13}$ 、 $\text{CA}=4$ である。辺 $\text{BC}$ を共有する正三角形 $\text{CBD}$ が三角形 $\text{ABC}$ の外側にあるとき、 $\overrightarrow{\text{AD}}=\dfrac{\fbox{ホ}}{\fbox{マ}}\overrightarrow{\text{AB}}+\dfrac{\fbox{ミ}}{\fbox{ム}}\overrightarrow{\text{AC}}$ である。
$\fbox{14}$ 関数 $f(x)$ が、等式 $f(x)=x^2-4-\dfrac{1}{4}\displaystyle\int_{-2}^2(x-2)|f(t)|dt$ を満たすとき、 $f\left(-\dfrac{1}{2}\right)$ の値は $\dfrac{\fbox{メ}}{\fbox{モ}}$ である。
$\fbox{15}$ $\text{O}$ を原点とする座標平面上に、双曲線 $m:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(b\gt a\gt 0)$ があり、 $m$ 上のある点における接線 $l$ は $x$ 軸と点 $(\sqrt{2},~0)$ で交わる。 $l$ と、 $m$ 、の2つの漸近線との交点のうち、 $x$ 座標の大きいほうを $\text{P}$ 、小さいほうを $\text{Q}$ とする。三角形 $\text{OPQ}$ の面積が $3\sqrt{6}$ 、 $\text{OP}\cdot\text{OQ}=15$ のとき、 $\text{PQ}=\fbox{ヤ}\sqrt{\fbox{ユヨ}}$ である。