東海大学数学2013年第2問

関数

$f(x)=xe^{-x}$ を考える。このとき、以下の問いに答えなさい。

(1) $f’(x)=\fbox{ア}$ である。曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(0,~0)$ におけるこのグラフの接線の方程式は、 $y=\fbox{イ}$ である。また、 $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\fbox{ウ}$ である。
(2) 曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=\dfrac{x}{e^2}$ は2点で交わる。原点以外の交点の $x$ 座標を $p$ で表すとき、 $p=\fbox{エ}$ である。また、 $0\leqq x\leqq p$ の範囲において、曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=\dfrac{x}{e^2}$ で囲まれた部分の面積は $\fbox{オ}$ である。
(3) 直線 $y=\dfrac{1}{e’}$ 、 $y$ 軸および曲線 $y=f(x)$ で囲まれた部分を $y$ 軸の周りに1 回転させてできる回転体の体積を $V$ とする。定積分 $\displaystyle\int_0^1 x^2e^{-x}dx=\fbox{カ}$ および $\displaystyle\int_0^1 x^3e^{-x}dx=\fbox{キ}$ であることを用いると、 $V=\fbox{ク}$ であることがわかる。