東海大学数学2013年第2問
関数$f(x)=xe^{-x}$を考える。このとき、以下の問いに答えなさい。
- (1) $f’(x)=\fbox{ア}$である。曲線$y=f(x)$上の点$(0,~0)$におけるこのグラフの接線の方程式は、$y=\fbox{イ}$である。また、$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\fbox{ウ}$である。
- (2) 曲線$y=f(x)$と直線$y=\dfrac{x}{e^2}$は2点で交わる。原点以外の交点の$x$座標を$p$で表すとき、$p=\fbox{エ}$である。また、$0\leqq x\leqq p$の範囲において、曲線$y=f(x)$と直線$y=\dfrac{x}{e^2}$で囲まれた部分の面積は$\fbox{オ}$である。
- (3) 直線$y=\dfrac{1}{e’}$、$y$軸および曲線$y=f(x)$で囲まれた部分を$y$軸の周りに1 回転させてできる回転体の体積を$V$とする。定積分$\displaystyle\int_0^1 x^2e^{-x}dx=\fbox{カ}$および$\displaystyle\int_0^1 x^3e^{-x}dx=\fbox{キ}$であることを用いると、$V=\fbox{ク}$であることがわかる。