東海大学数学2012年第1問

(1) △OABにおいて、 $|\overrightarrow{\text{OA}}|=2$ 、 $|\overrightarrow{\text{OB}}|=3$ 、 $\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OB}}=4$ のとき、△OABの面積は $\fbox{ア}$ である。
また、 $\overrightarrow{\text{OP}}=s\overrightarrow{\text{OA}}+t\overrightarrow{\text{OB}}$ 、 $2\leqq{s+4t}\leqq6$ 、 $s\geqq0$ 、 $t\geqq0$ となる点Pの存在する範囲の面積は $\fbox{イ}$ である。
(2) 定数 $p$ 、 $q$ があり、整式 $4x^4+px^3-3x^2+qx+3$ は $x^2+2x-3$ で割り切れる。このとき、 $p=\fbox{ウ}$ 、 $q=\fbox{エ}$ である。
(3) さいころを3回続けて投げるとき、全て異なる目が出る確率は $\fbox{オ}$ である。
(4) $\alpha+\beta=\dfrac{4}{3}\pi$ 、 $\alpha-\beta=\dfrac{\pi}{2}$ のとき、 $\cos\alpha+\cos\beta$ の値は $\fbox{カ}$ である。
(5) $t=\cos2x$ とおく。 $\dfrac{\cos^2x}{\sin^2x}-\dfrac{\sin^2x}{\cos^2x}$ を $t$ で表すと、 $\dfrac{\cos^2x}{\sin^2x}-\dfrac{\sin^2x}{\cos^2x}=\fbox{キ}$ である。
(6) $t+t^{-1}=23$ かつ $t\gt1$ のとき、 $t+t^{-1}=\fbox{ク}$ である。