東海大学数学2012年第2問

(1) $\dfrac{d}{dx}\log\left(\dfrac{1+\sin{x}}{1-\sin{x}}\right)=\dfrac{2}{\fbox{ア}}$
(2) $\text{AB}=\text{BC}=1$ 、 $\angle\text{B}=\dfrac{\pi}{2}$ である直角二等辺三角形ABCがある。 $n$ を2以上の整数とする。辺BC上に $n$ 個の点 $\text{P}_1,~\text{P}_2,~\cdots,~\text{P}_n$ があり、 $\angle\text{BAP}_k=\dfrac{k}{n}\times\dfrac{\pi}{4}~(k=1,2,\cdots,n)$ となっている。 $n$ 、 $k$ で表すと $\text{AP}_k=\fbox{イ}$ 、 $\text{BP}_k=\fbox{ウ}$ である。区分求積法により $\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\sum^{n}_{k=1}\text{BP}_k=\int^{1}_{0}\fbox{エ}dx$ である。積分の値を求めれば、 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\sum^{n}_{k=1}\text{BP}_k=\fbox{オ}$ である。また $\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\sum^{n}_{k=1}\text{AP}_k=\fbox{カ}$ である。