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東海大学数学2012年第3問

次の条件によって定められる数列{an}がある。 a1=0, an+1=11+an (n=1,2,3,) n3のとき、anan=cnbnと表す。ここで、bncnは互いに素な自然数である。n=1のときb1=1c1=0n=2のときb2=1c2=1と定める。
  • (1) bn+1cn+1bncnで表すと bn+1= , cn+1= である。
  • (2) pを定数とする。n2のとき、数列{cn}において、漸化式cn+1=p(cn+cn1)が成り立つならば、p=である。この漸化式から cn+1αcn=β(cnαcn1) , cn+1βcn=α(cnβcn1) (n2) を満たす定数αβが定まる。α>βであるときα=β=である。
  • (3) αβを(2)で求めたものとする。一般項cnαβnで表すとcn=である。また、一般項anαβnで表すとan=である。したがって、数列{an}は収束し、limnan=である。