東海大学数学2012年第3問
次の条件によって定められる数列{an}がある。
a1=0, an+1=11+an (n=1,2,3,⋯)
n≧3のとき、anをan=cnbnと表す。ここで、bn、cnは互いに素な自然数である。n=1のときb1=1、c1=0、n=2のときb2=1、c2=1と定める。
- (1) bn+1、cn+1をbn、cnで表すと bn+1=ア , cn+1=イ である。
- (2) pを定数とする。n≧2のとき、数列{cn}において、漸化式cn+1=p(cn+cn−1)が成り立つならば、p=ウである。この漸化式から cn+1−αcn=β(cn−αcn−1) , cn+1−βcn=α(cn−βcn−1) (n≧2) を満たす定数α、βが定まる。α>βであるときα=エ、β=オである。
- (3) α、βを(2)で求めたものとする。一般項cnをα、β、nで表すとcn=カである。また、一般項anをα、β、nで表すとan=キである。したがって、数列{an}は収束し、limn→∞an=クである。