次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある。 \[a_1=0,~a_{n+1}=\dfrac{1}{1+a_n}~(n=1,2,3,\cdots)\] $n\geqq3$のとき、$a_n$を$a_n=\dfrac{c_n}{b_n}$と表す。ここで、$b_n$、$c_n$は互いに素な自然数である。$n=1$のとき$b_1=1$、$c_1=0$、$n=2$のとき$b_2=1$、$c_2=1$と定める。

• (1) $b_{n+1}$、$c_{n+1}$を$b_n$、$c_n$で表すと \[b_{n+1}=\fbox{ア}~,~c_{n+1}=\fbox{イ}\] である。
• (2) $p$を定数とする。$n\geqq2$のとき、数列$\{c_n\}$において、漸化式$c_{n+1}=p(c_n+c_{n-1})$が成り立つならば、$p=\fbox{ウ}$である。この漸化式から \[c_{n+1}-\alpha{c_n}=\beta(c_n-\alpha{c_{n-1}})~,~c_{n+1}-\beta{c_n}=\alpha(c_n-\beta{c_{n-1}})~(n\geqq2)\] を満たす定数$\alpha$、$\beta$が定まる。$\alpha\gt\beta$であるとき$\alpha=\fbox{エ}$、$\beta=\fbox{オ}$である。
• (3) $\alpha$、$\beta$を(2)で求めたものとする。一般項$c_n$を$\alpha$、$\beta$、$n$で表すと$c_n=\fbox{カ}$である。また、一般項$a_n$を$\alpha$、$\beta$、$n$で表すと$a_n=\fbox{キ}$である。したがって、数列$\{a_n\}$は収束し、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\fbox{ク}$である。