$xy$平面上に2曲線 \[C_1:y=2x\sqrt{1-x^2},~C_2:y=\sqrt{1-x^2}\] がある。$C_1$、$C_2$上に2点$\text{P}_1\left(t,2t\sqrt{1-t^2}\right)$、$\text{P}_2\left(t,\sqrt{1-t^2}\right)$$(-1\lt t\lt 1)$をとり、$\text{P}_1$における$C_1$の接線$l_t$と、$\text{P}_2$における$C_2$の接線$m_t$について考える。このとき、次の問いに答えよ。

• (1) $C_1$および$C_2$の概形を同じ$xy$平面上に描け($xy$平面は解答用紙にある)。ただし、曲線の凹凸と変曲点は調べなくてよい。また、$\text{P}_1$と$\text{P}_2$が一致するときの$t$の値を求めよ。
• (2) 2直線$l_t$と$m_t$が平行になるときの$t$がみたすべき条件を、$t$についての2次方程式で表し、その解$\alpha$、$\beta$$(\alpha\lt\beta)$を求めよ。
• (3) $l_t$と$m_t$が交点をもつとき、その交点の$y$座標を$y_t$とする。
  • (i) $y_t$を$t$を用いて表せ。
  • (ii) $y_t\gt 0$となる$t$の値の範囲を(2)で求めた$\alpha$、$\beta$を用いて表し、この範囲における$y_t$の最小値を求めよ。