$C_1$上の点$\text{P}(t,~e^t)(t\gt0)$における$C_1$の接線$l_t$が、$C_2$上の点$\text{Q}(s,~-e^{1-s}+a)$における$C_2$の接線にもなっているとき、次の問いに答えよ。ただし、$e$は自然対数の底である。

• (1) $t$と$s$の関係式を求めよ。また、$a$を$t$を用いて表せ。
• (2) $C_1$、$l_t$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とし、$C_2$、$l_t$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_2(t)$とする。ただし、$\text{Q}$が$y$軸上にあるときは$S_2(t)=0$とする。
  • (i) $S_1(t)$、$S_2(t)$を$t$を用いて表せ。
  • (ii) $S(t)=S_1(t)+S_2(t)$とする。$t$が$t\gt0$の範囲を動くとき、$t$の関数$S(t)$の最小値を求めよ。