東京慈恵会医科大学数学2013年第1問

次の四角にあてはまる適切な数値を解答欄に記入せよ。

(1) 数直線上を動く点 $\text{P}$ が原点の位置にある。2個のさいころを同時に投げる試行を $\text{T}$ とし、試行 $\text{T}$ の結果によって、 $\text{P}$ は次の規則で動く。
(規則) 2個のさいころの出た目の積が偶数ならば+2だけ移動し、奇数ならば+1だけ移動する。
試行 $\text{T}$ を $n$ 回繰り返し行ったときの $\text{P}$ の座標を $x_n$ とすると、 $x_1=2$ となる確率は $\fbox{ア}$ であり、 $x_3=3$ かつ $x_4=5$ となる確率は $\fbox{イ}$ である。また、 $\text{P}$ が座標4以上の点に初めて到達するまで試行 $\text{T}$ を繰り返し行うとき、試行回数の期待値は $\fbox{ウ}$ である。
(2) 平面上に3点 $\text{O}$ 、 $\text{A}$ 、 $\text{B}$ があり、 $|\overrightarrow{\text{OA}}|=|\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}|=|2\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}|=1$ をみたしている。このとき、 $\overrightarrow{\text{OB}}=\fbox{エ}$ である。また、実数 $s$ 、 $t$ が条件 $1\leqq s+3t\leqq 3$ 、 $s\geqq 0$ 、 $t\geqq 0$ をみたしながら動くとき、 $\overrightarrow{\text{OP}}=s\overrightarrow{\text{OA}}+t\overrightarrow{\text{OB}}$ で定められた点 $\text{P}$ の存在する範囲の面積は $\fbox{オ}$ である。