東京慈恵会医科大学数学2013年第3問

$\theta$ は

$0\leqq\theta\leqq\pi$ をみたす実数とする。

$xyz$ 空間内の平面

$z=0$ 上に2点

$\text{P}_\theta(\cos\theta,\sin\theta,~0)$ 、

$\text{Q}_\theta(2\cos\theta,2\sin\theta,~0)$ をとり、

$\theta$ を

$0\leqq\theta\leqq\pi$ の範囲で動かすとき、線分

$\text{P}_\theta\text{Q}_\theta$ が通過する部分を

$D$ とする。空間内の

$z\geqq 0$ の部分において、底面が

$D$ 、

$\text{P}_\theta\text{Q}_\theta$ 上の各点での高さが

$\dfrac{2}{\pi}\theta$ の立体

$K$ を考える。半球

$B:x^2+y^2+z^2\leqq 2^2$ 、

$z\geqq 0$ と

$K$ の共通部分を

$L$ とするとき、次の問いに答えよ。