$n$を3以上の整数とする。$xyz$空間の平面$z=0$上に、1辺の長さが4の正$n$角形$P$があり、$P$の外接円の中心を$\text{G}$とおく。半径1の球$B$の中心が$P$の辺に沿って1周するとき、$B$が通過してできる立体を$K_n$とする。

このとき、次の問いに答えよ。

• (1) $P$の隣り合う2つの頂点$P_1$、$P_2$をとる。$\text{G}$から辺$P_1P_2$に下ろした垂線と$P_1P_2$との交点を$\text{Q}$とするとき、$\text{GQ}\gt1$となることを示せ。
• (2)
  • (i) $K_n$を平面$z=t~(-1\leqq t\leqq1)$で切ったときの断面積$S(t)$を$t$と$n$を用いて表せ。
  • (ii) $K_n$の体積$V(n)$を$n$を用いて表せ。
• (3) $\text{G}$を通り、平面$z=0$に垂直な直線を$l$とする。$K_n$を$l$ のまわりに1回転させてできる立体の体積$W(n)$を$n$を用いて表せ。
• (4) $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\dfrac{V(n)}{W(n)}$を求めよ。