音源や観測機器と観測者$\text{A}$をのせた全質量$M$の気球が、下方へ一定の振動数の音を出しながら、一定の速さで下降している。$\text{A}$はこの音の地面による反射音の振動数を$f_A$と観測し、気球の真下の地上にいる観測者$\text{B}$は直接音の振動数を$f_B$と観測した。重力加速度の大きさを$g$、音速を$c$とし、風はなく、空気抵抗は考えないものとして、以下の問いに答えなさい。

• 問1. 気球の速さを$c$、$f_A$、$f_B$で表しなさい。
• 問2. 音源の振動数を$f_A$、$f_B$で表しなさい。
• 問3. $\text{A}$は直接音と反射音によるうなりを聞いた。そのうなりの振動数を$f_A$、$f_B$で表しなさい。
• 問4. $\text{A}$がある位置で砂袋(質量$m$)を静かに落としたところ、気球がちょうど地面に達したときに気球の速度は$0$になった。ただし、$m$は$M$に含まれ、砂袋に働く空気による浮力は無視できるものとし、空気が気球に及ぼす上向きの力は常に一定であるものとする。
  • (1) 砂袋を落とした位置の地面からの高さを$m$、$M$、$g$、$c$、$f_A$、$f_B$で表しなさい。
  • (2) 砂袋を落としたときからの経過時間$t$の関数として$\text{B}$が観測する振動数を$m$、$M$、$g$、$c$、$f_A$、$f_B$および$t$で表しなさい。